Question

Após um tremor de terra dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas,.Sabendo que o s muros têm alturas de 9m e 3, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam?

Answer 1

Olá, vamos considerar a figura abaixo.

Trata-se de uma questão de semelhança de triângulos.

Primeiramente, podemos observar que ΔABD ~ΔFCD. Logo,
$\frac{3}{x} = \frac{w}{y}$
w = $\frac{3y}{x}$

Da mesma forma, temos que ΔEBD ~ΔFBC. Logo,
$\frac{9}{x} = \frac{w}{w-y}$
9w - 9y = xw

Substituindo o valor de w:
9w - 9y = 3y
9w = 12y
w = $\frac{12y}{9}$

Igualando os dois valores de w:

$\frac{12y}{9} = \frac{3y}{x}$
12xy = 27y
12x = 27
x = $\frac{27}{12}$ = 2,25 m

Answer 2

As barras metálicas utilizadas para escorar os dois muros após o tremor se interceptam a 2,25 metros de altura.

Semelhança de triângulos

Os triângulos só são semelhantes se todas as divisões de lados correspondentes resultarem em uma constante e tiverem ângulos congruentes.

Exemplo ΔABD~ΔFED:

$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}=cte$

Resolvendo o exercício

A figura em anexo representa a situação descrita no problema. Para encontrar o valor da altura em que as barras se interceptam iremos aplicar o conceito de semelhança de triângulos.

Relação entre os triângulos ΔABD e ΔFED:

$\dfrac{9}{X} =\dfrac{W}{W-Z}\Rightarrow 9W-9Z=XW~~~~(2)$

Relação entre os triângulos ΔEDB e ΔFEB:

$\dfrac{3}{X} =\dfrac{W}{Z}\Rightarrow 3Z=XW\\\\\\W=\dfrac{3Z}{X} ~~~~~~~~~~(2)$

Substituindo a equação (2) em (1), temos:

$9W-9Z=\backslash\!\!\!X\cdot\dfrac{3Z}{\backslash\!\!\!X}\Rightarrow9W-9Z=3Z\\\\\\W=\dfrac{12W}{9}~~~~~~~~~~~~~~(3)$

Igualando a equação (2) e (3), temos:

$\dfrac{3Z}{X}=\dfrac{12W}{9}\Rightarrow 12XW=27Z\\\\\\ X=\dfrac{27\backslash\!\!\!Z}{12\backslash\!\!\!Z}=2,25~~m$

Portanto, a altura em que as barras metálicas se interceptam é igual a 2,25 metros.

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