Question

Calcular a integral

∭(x²+y² )dV,

em que T é a região de integração interior ao cilindro x² + y² = 4 e à esfera x² + y² + z² = 9 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais simplifica a resolução).

Answer 1

Utilizando integrais em coordenadas cilindricas, temos que esta integral tem resultado igual a $I=\frac{648\pi}{5}-40\pi\sqrt{5}$.

Explicação passo-a-passo:

O fato de um dos limites da região de integraçã oser um cilindro já nos da uma dica, pois é muito dificil integrar um cilindro em regiões não cilindricas.

Assim trocando nossas coordenadas para região cilindrica, temos os seguintes limites de integração:

$I=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}r.(r^2)\,dz\,d\theta\,dr$

Note que esta integral é desta forma pois:

$x^2+y^2=4\rightarrow r^2=4$

$x^2+y^2+z^2=9\rightarrow z^2+r^2=9$

Assim fazendo esta integração primeiramente no angulo, por ser mais trivial (pois ninguém dentro da integral depende do angulo):

$I=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}r.(r^2)\,dz\,d\theta\,dr$

$I=2\pi\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}r^3\,dz\,dr$

Agora integrando em z:

$I=2\pi\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}r^3\,dz\,dr$

$I=2\pi\int_{0}^{2}\left[z.r^3\right]_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}\,dr$

$I=2\pi\int_{0}^{2}r^3\left[z\right]_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}\,dr$

$I=2\pi\int_{0}^{2}r^3\left[\sqrt{9-r^2}+\sqrt{9-r^2}\right]\,dr$

$I=2\pi\int_{0}^{2}r^3.2\sqrt{9-r^2}\,dr$

$I=4\pi\int_{0}^{2}r^3\sqrt{9-r^2}\,dr$

Nesta parte vou pular as etapas por serem muito grandes, mas vou explicar como se chega la, pois no papel é mais rapido: Basta você integrar por partes, pegando r² = u e r√9-r² = dv. Com isso você vai sumir com dois r's, e assim a proxima integral é simples de se resolver (no papel rsrsrs), ficando com o seguinte resultado:

$I=4\pi\left[-\dfrac{r^2\left(9-r^2\right)^\frac{3}{2}}{5}-\dfrac{6\left(9-r^2\right)^\frac{3}{2}}{5}\right]_{0}^{2}$

$I=4\pi\left[\frac{162}{5}-10\sqrt{5}\right]$

$I=\frac{648\pi}{5}-40\pi\sqrt{5}$

Assim temos que esta integral tem resultado igual a $I=\frac{648\pi}{5}-40\pi\sqrt{5}$.