Question

INTEGRAL IMPRÓPRIA

$\\ \:\:\:\:\:\:\Large{\displaystyle\int^{~\infty}_{- \infty} \dfrac{5}{1 + x^2}\: dx}$

Answer 1

Resposta:

$\displaystyle\int^{~\infty}_{- \infty} \dfrac{5}{1 + x^2}\: dx = \red{5\pi}$

Explicação passo-a-passo:

Caro usuário @Mathew primeiramente, relembrar que nunca se trabalha com dois problemas num integral impróprio, parte-se de modo a termos um problema por integral, deste temos (também) que relembrar alguns conceitos relacionados as integrais definidas, observe abaixo.

Dada uma função f(x) integrável em todo o intervalo limitado de $\mathbb{R}$, diz-se, portanto, que o integral impróprio $\displaystyle\int^{\infty}_{- \infty} f(x) dx$ é convergente se, para algum $k \in \mathbb{R}$ forem convergentes ambos os integrais impróprios $\displaystyle\int^{k}_{- \infty} f(x) dx$ e $\displaystyle\int^{ \infty}_{k} f(x) dx$, matematicamente,

$\\ \displaystyle\int^{\infty}_{- \infty} f(x) dx = \displaystyle\int^{k}_{- \infty} f(x) dx ~+~ \displaystyle\int^{ \infty}_{k} f(x) dx$

$~~~~~~$ $\large{\forall~~k \in \mathbb{R}}$

Deste modo, isso nos remete a concluir que se algum dos integrais imprópros for divergente, então $\displaystyle\int^{\infty}_{- \infty} f(x) dx$ é divergente.

Observe a nossa integral, temos o seguinte,

$\mathtt{I} = \displaystyle\int^{~\infty}_{- \infty} \dfrac{5}{1 + x^2}\: dx$

$\mathtt{I} = \displaystyle\int^{~0}_{- \infty} \dfrac{5}{1 + x^2} dx ~+~ \displaystyle\int^{~\infty}_{0} \dfrac{5}{1 + x^2} dx$

$\mathtt{I} = \underbrace{ \lim_{a \to -\infty} \left[ \displaystyle\int^{0}_{a} \dfrac{5}{1 + x^2} dx \right]}_{ \mathtt{I_1}} ~+~ \underbrace{ \lim_{b \to \infty} \left[ \displaystyle\int^{b}_{0} \dfrac{5}{1 + x^2} dx \right]}_{ \mathtt{I_2}}$

Portanto, podemos parcialmente concluir o seguinte,

$\mathtt{I} = \mathtt{I_1 + I_2}$

Resolvendo cada integral separadamente teremos o seguinte,

$\mathtt{I_1} =</p><p> \lim_{a \to -\infty} \left[ \displaystyle\int^{0}_{a} \dfrac{5}{1 + x^2} dx \right]$

$\\ \iff \mathtt{I_1} = \lim_{a \to -\infty} \left[ 5\displaystyle\int^{0}_{a} \dfrac{1}{1 + x^2} dx \right]$

Com o auxílio da tabela das integrais, é sabido que $\int \dfrac{1}{1 + {x}^{2}} = \arctan(x) + c \:.$

Deste modo teremos o seguinte,

$\iff \mathtt{I_1} = \lim_{a \to - \infty} \left[ \overset{}{5\arctan(x)} \left. \right. \right]_{a}^{0}$

Pelo teorema fundamental do cálculo, ou melhor pela fórmula de Newton – Leibniz, sabe-se que se f(x) é uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja F(x) uma primitiva de f(x), então,

$\displaystyle\int^{b}_{a} f(x) dx = \mathsf{F(b)} - \mathsf{F(a)}$

Portanto, voltando para o nosso caso teremos que,

$\iff \mathtt{I_1} = 5 \arctan(0) - \lim_{a \to \infty} \left[5 \arctan(a) \right]$

$\\ \iff \mathtt{I_1} = 5 \dot 0 - 5 \arctan \left(-\infty \right)$

Uma vez que a função tangente (quanto a paridade) é ímpar, isto é $\tan(- \beta) = -\tan(\beta),$ concluímos que,

$\iff \mathtt{I_1} = 0 + 5 \arctan \left( \infty \right)$

Observe a inversa acima, basta lembrar que a função tangente não está definida quando o ângulo é $\dfrac{\pi}{2} + \pi k$, deste modo,

$\\ \iff \mathtt{I_1} = 5 \left(\dfrac{\pi}{2} \right)$

$\\ \iff \mathtt{I_1} = \dfrac{5\pi}{2}$

Calculando a outra parcela usando o mesmo procedimento teremos o seguinte,

$\\ \iff \mathtt{I_2} = \lim_{b \to \infty} \left[ 5 \displaystyle\int^{b}_{0} \dfrac{1}{1 + x^2} dx \right]$

$\\ \iff \mathtt{I_2} = \lim_{b \to \infty} \left[ \overset{}{5\arctan(x)} \left. \right. \right]_{0}^{b}$

$\\ \iff \mathtt{I_2} = \lim_{b \to \infty} \left[5 \arctan(b) \right] - 5 \arctan(0)$

$\iff \mathtt{I_2} = 5 \arctan (\infty) - 5 \cdot 0$

$\\ \iff \mathtt{I_2} = \dfrac{5\pi}{2}$

Portanto, teremos como último procedimento a soma das parcelas $\mathsf{I_1}$ e $\mathsf{I_2}$, que o resultado da nossa integral, matematicamente,

$\mathtt{I = I_1 + I_2}$

$\\ \iff \mathtt{I} = \dfrac{5\pi}{2} + \dfrac{5\pi}{2}$

$\\ \iff \red{\mathtt{I} = 5\pi}$

Espero ter colaborado!)