Question

De um grupo de 14 homens e 11 mulheres, retiram-se 5 pessoas para formar uma comissão. Qual a probabilidade de haver pessoas dos dois sexos?

Answer 1

Resposta:

A probabilidade da comissão ser formada por membros de ambos os sexos é de 94,89%

Explicação passo-a-passo:

Temos que analisar primeiro a quantidade de comissões possíveis com ou sem pessoas do mesmo sexo e depois subtrair do total as comissões que são formadas apenas por membros do mesmo sexo.

H=14, M=11

5H + 0M ⇒ $C_{14,5}$

4H + 1M ⇒ $C_{14,4}$ . $C_{11,1}$

3H + 2M ⇒ $C_{14,3}$ . $C_{11,2}$

2H + 3M ⇒ $C_{14,2}$ . $C_{11,3}$

1H + 4M ⇒ $C_{14,1}$ . $C_{11,4}$

0H + 5M ⇒ $C_{11,5}$

$\frac{n!}{p!(n-p)!}$

$C_{14,5}$ ⇒ $\frac{14!}{5!(14-5)!}$ = $\frac{14.13.12.11.10.9!}{5.4.3.2.9!}$ = 14.13.11 = 2002

$C_{14,4}$ ⇒ $\frac{14!}{4!(14-4)!}$ = $\frac{14.13.12.11.10!}{4.3.2.10!}$ = $\frac{2002}{2}$ = 1001

$C_{14,3}$ ⇒ $\frac{14!}{3!(14-3)!}$ = $\frac{14.13.12.11!}{3.2.11!}$ = $\frac{2184}{6}$ = 364

$C_{14,2}$ ⇒ $\frac{14!}{2!(14-2)!}$ = $\frac{14.13.12!}{2.12!}$ = $\frac{182}{2}$ = 91

$C_{14,1}$ ⇒ 14

$C_{11,1}$ ⇒ 11

$C_{11,2}$ ⇒ $\frac{11!}{2!(11-2)!}$ = $\frac{11.10.9!}{2.9!}$ = $\frac{110}{2}$ = 55

$C_{11,3}$ ⇒ $\frac{11!}{3!(11-3)!}$ = $\frac{11.10.9.8!}{3.2.8!}$ = $\frac{990}{6}$ = 165

$C_{11,4}$ ⇒ $\frac{11!}{4!(11-4)!}$ = $\frac{11.10.9.8.7!}{4.3.2.7!}$ = $\frac{7920}{24}$ = 330

$C_{11,5}$ ⇒ $\frac{11!}{5!(11-5)!}$ = $\frac{11.10.9.8.7.6!}{5.4.3.2.6!}$ = $\frac{5544}{12}$ = 462

5H + 0M ⇒ $C_{14,5}$ = 2002

4H + 1M ⇒ $C_{14,4}$ . $C_{11,1}$ = 1001 . 11 = 11011

3H + 2M ⇒ $C_{14,3}$ . $C_{11,2}$ = 364 . 55 = 20075

2H + 3M ⇒ $C_{14,2}$ . $C_{11,3}$ = 91 . 165 = 10065

1H + 4M ⇒ $C_{14,1}$ . $C_{11,4}$ = 14 . 330 = 4620

0H + 5M ⇒ $C_{11,5}$ = 462

Total de comissões possíveis:

2002 + 11011 + 20075 + 10065 + 4620 + 462 = 48235

Total de comissões possíveis com membros dos dois sexos:

48235 - $C_{14,5}$ - $C_{11,5}$ = 48235 - 2002 - 462 = 45771

48235 --- 100%

45771 --- x

x = $\frac{4577100}{48235}$ = 94,89%