VETORESSSSSSSS
Suponha que o conjunto u, v, w é LI e considere o vetor t = au + bv + c w. Mostre que o conjunto u + t, v + t, w + t é LI se, e somente se, a + b + c for diferende de −1.
Respostas
Lembramos que 3 vetores v₁, v₂ e v₃ são linearmente independentes se existem escalares α₁ , α₂ e α₃ de forma que
α₁v₁ + α₂vα₂ + α₃v₃ = 0 ↔ α₁ = α₂ = α₃ = 0
Isso quer dizer que para descobrir se 3 vetores são LI, você precisa resolver a equação α₁v₁ + α₂vα₂ + α₃v₃ = 0 (onde as incógnitas são α₁ , α₂ e α₃) e verificar se a única solução é α₁ = α₂ = α₃ = 0.
No problema temos os vetores
v₁ = u + t = (a+1)u + bv + cw
v₂ = v + t = au + (b+1)v + cw
v₃ = w + t = au + bv + (c+1)w
Portanto:
α₁v₁ + α₂vα₂ + α₃v₃ = 0 ( I )
α₁ [(a+1)u + bv + cw] + α₂ [au + (b+1)v + cw] + α₃ [au + bv + (c+1)w] = 0
Agora vamos agrupar tudo em u,v,w:
[ a(α₁ + α₂ + α₃) + α₁ ]u + [ b(α₁ + α₂ + α₃) + α₂ ]v + [ c(α₁ + α₂ + α₃) + α₃ ]w = 0
Mas os vetores u,v,w são LI. Ou seja, pra equação acima ser verdadeira cada um dos coeficientes de u,v,w deve ser nulo. Assim, ficamos com o sistema:
a(α₁ + α₂ + α₃) + α₁ = 0
b(α₁ + α₂ + α₃) + α₂ = 0 ( II )
c(α₁ + α₂ + α₃) + α₃ = 0
Somando essas 3 equações obteremos
a(α₁ + α₂ + α₃) + b(α₁ + α₂ + α₃) + c(α₁ + α₂ + α₃) + (α₁ + α₂ + α₃) = 0
(a+b+c+1)(α₁ + α₂ + α₃) = 0 ( III )
Assim, temos duas possibilidades:
1) a + b + c = -1
Nesse caso observe que algum dos números a,b,c é não nulo. Por outro lado, α₁ = -a, α₂ = -b e α₃ = -c é solução do sistema ( II ). Assim, os vetores não são LI nesse caso.
2) a + b + c ≠ -1
Já nesse caso, pela equação ( III ) devemos ter α₁ + α₂ + α₃ = 0. Isso implica que a única solução do sistema ( II ) é α₁ = α₂ = α₃ = 0. Logo, está é a única solução da equação ( I ). Portanto, nesse caso, os vetores são LI.