Em uma progressão aritmética (P.A) crescente de dezesseis termos positivos, x é o primeiro termo, y é o quarto termo e z é o último. Sabe-se que x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão geométrica cuja soma é 42 e x.z = 64. Nessas condições, é correto afirmar que o décimo termo da P.A é:
Respostas
Faltou inserir as alternativas, segue em anexo ao final da resposta.
Alternativa C.
O décimo termo da P.A é igual à diferença entre dois termos da P.A.
Utilizando as propriedades temos que:
a1 . a3 = a2²
dessa forma,
x . z = y²
O enunciado nos apresenta que x . z = 64
, assim, igualando as duas expressões temos:
y² = 64
y = 8
x + y + z = 42
x + 8 + z = 42
x + z + 8 - 42 = 0
x + 64/x -34 = 0
Deve-se multiplicar todos os termos por "x":
x² - 34x + 64 = 0
Em seguida aplica-se a fórmula de bhaskára, que resultará em:
x" = (34 + 30) / 2 = 64/2 = 32
Sabemos que z = 64/x e que a progressão é crescente, então consideramos:
x = x' = 2
z = x" = 32
Logo, para a P.A., temos que:
a1 = x = 2
a4 = y = 8
a16 = z = 32
Utiliza-se a equação do termo geral de uma P.A.:
an = a1 + (n - 1) . r
a4 = a1 + 3 . r
8 = 2 + 3 . r
3r = 6
r = 2
Calculando o décimo termo:
a10 = a1 + (10 - 1) . r
a10 = 2 + 18
a10 = 20
Espero ter ajudado, bons estudos.
