Um agricultor tem arame suficiente para construir 120 m de cerca, com os quais pretende montar uma horta retangular de tamanho a ser decidido. a) Se o agricultor decidir fazer a horta com todos os lados de mesmo tamanho e utilizar todo o arame disponível cercando apenas três dos seus lados, qual será a área da horta? b) Qual é a área máxima que a horta pode ter se apenas três dos seus lados forem cercados e todo o arame disponível for utilizado?
#UFPR
#VESTIBULAR
Respostas
a) A área da horta será de 1.600 m².
O agricultor irá nesse caso usar todo o arame disponível (120 m) para cercar 3 lados da horta que possui a forma de um quadrado e portanto, todos os lados iguais, então cada lado tem o tamanho de:
3x = 120
x = 40 m
Sendo que a área da horta será de:
A = 40² = 1.600 m²
b) A área máxima da horta será de 1.800 m².
Agora vamos considerar que a horta será retangular, e vamos chamar um lado de x e outro de y, sendo somente três lados serão cercados:
2x + y = 120
y = 120 - 2x
A área dessa horta é dada por xy, logo, substituindo o valor de y da equação anterior, temos que:
A = x.(120 - 2x)
A = 120x - 2x²
Temos que essa função será máxima quando:
A' = 120 - 4x = 0
x = 120 ÷ 4 = 30 m
O que nos dá uma área de:
A = 120.(30) - 2.(30)² = 1.800 m²
Espero ter ajudado!