Question

Determine a função f que satisfaz as condições dadas.
f''(x)=6x+sin(x)+3e^x


f'(0)=2

f(0)=3


1. Determine a função f′(x)

2. Determine a função f(x).

Answer 1

Pelo teorema fundamental do cálculo sabemos que

$f'(x) - f'(0) = \displaystyle \int_0^x f''(t) \, dt$

Uma primitiva para f''(x) é a função 3x² - cos(x) + 3eˣ. Logo:

$f'(x) - 2 = (3t^2 - \cos(t) + 3e^t) \Bigg|_{t=0}^{t=x} = 3x^2 - \cos(x) + 3e^x - 2$

Portanto, f'(x) = 12x² - cos(x) + 3eˣ. Novamente pelo teorema fundamental do cálculo temos

$f(x) - f(0) = \displaystyle \int_0^x f'(t) \, dt$

Uma primitiva para f'(x) é x³ - sen(x) + 3eˣ. Novamente temos

$f(x) - 3 = (t^3 - \sin(t) + 3e^t) \Bigg|_{t=0}^{t=x} = x^3 - \sin(x) + 3e^x - 3$

Logo, obtemos f(x) = x³ - sen(x) + 3eˣ