Question

qual o valor de 4^-2log16 9?

Answer 1

Nesta questão, vamos fazer pleno uso das propriedade de logaritmos.

Perceba que não temos como calcular o logaritmo no expoente, ou seja, precisamos encontrar uma forma de simplificar.

Entre as propriedades, temos uma que pode ser adaptada para este caso:

$\longrightarrow\boxed{b^{log_{_b}a}~=~a}$

Vamos então utilizar outras propriedades para deixar a expressão dada no formato indicado acima.

Com a propriedade  $\boxed{c\cdot log_{_b}a~=~log_{_b}a^c{}}$ , podemos "retirar" o -2 da frente do logaritmo:

$=~4^{log_{_{16}}9^{-2}}$

Utilizando a propriedade da troca de base  $\boxed{log_{_b}a~=~\frac{log_{_c}a}{log_{_c}b}}$ , podemos deixar a base do logaritmo igual a 4:

$=~4^{\frac{log_{_4}9^{-2}}{log_{_4}16}}$

Note que logaritmo de 16 na base 4 pode ser calculado e tem valor 2, dessa forma a expressão fica:

$=~4^{\frac{log_{_4}9^{-2}}{2}}\\\\\\=~4^{\frac{1}{2}log_{_4}9^{-2}}$

Novamente, podemos utilizar a propriedade  $\boxed{c\cdot log_{_b}a~=~log_{_b}a^c{}}$ :

$=~4^{log_{_4}9^{-\frac{2}{2}}}\\\\\\=~4^{log_{_4}9^{-1}}$

Finalmente, a expressão ficou no formato adequado para a utilização da propriedade  $\boxed{b^{log_{_b}a}~=~a}$ :

$=~9^{-1}\\\\\\=~\boxed{\frac{1}{9}}$