Considere no plano cartesiano os pontos p(2,3) e q(5,3). após o segmento pq entorno de p em um ângulo de 60° no sentido horário, obtém-se o segmento pr. a)ilustre a situação no plano cartesiano. b)qual a medida do segmento pq? e do segmento pr? explique. c)classifique o △ pqr quanto aos lados. d)quais as coordenadas do ponto r? e)refaça os itens anteriores supondo agora que o movimento do segmento pq ocorra o sentido anti-horário. oque você pode concluir?
Respostas
A medida dos segmentos PQ e PR é 3; O triângulo PQR é equilátero; As coordenadas do ponto R são R = (7/2, 3 - 3√3/2); No sentido anti-horário, o ponto R é R = (7/2, 3 + 3√3/2).
a) A ilustração da situação no plano cartesiano está anexada abaixo.
b) Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, vamos calcular a distância entre os pontos P = (2,3) e Q = (5,3):
d² = (5 - 2)² + (3 - 3)²
d² = 3²
d = 3.
Como vamos criar um novo segmento a partir do segmento PQ, então podemos afirmar que o segmento PR também mede 3.
c) Observe que os lados PQ e PR possuem a mesma medida. Então, temos um triângulo isósceles de base RQ.
Entretanto, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Logo, os ângulos Q e R deverão medir 60º. Portanto, podemos afirmar que o triângulo é equilátero.
d) Vamos considerar que R = (x,y).
Pela fórmula da distância entre dois pontos, obtemos:
(x - 2)² + (y - 3)² = (x - 5)² + (y - 3)²
x² - 4x + 4 = x² - 10x + 25
-4x + 4 = -10x + 25
-4x + 10x = 25 - 4
6x = 21
x = 7/2.
Consequentemente:
(7/2 - 2)² + (y - 3)² = 9
(3/2)² + y² - 6y + 9 = 9
9/4 + y² - 6y = 0
y² - 6y + 9/4 = 0.
Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos dois valores para R: 3 - 3√3/2 e 3 + 3√3/2.
Como o sentido era horário, podemos concluir que R = (7/2, 3 - 3√3/2).
e) Ao refazer os itens anteriores, podemos afirmar que as coordenadas do ponto R são R = (7/2, 3 + 3√3/2).
