Question

Seja x um número real pertencente ao intervalo [0, 180º]. Se sec x =3/2 , calcule então tgx.

Answer 1

Resposta:

     tg x  =  √5 / 2

Explicação passo-a-passo:

.

.       Sec x  = 3/2                 (  x  ∈    [0,  180°] )

.

.      1 / cos x  =  3/2  >  0     =>   x  é  do  1° quadrante

.       3. cos x  =  2

.       cos x  =  2/3

.

.       Pela relação fundamental:  sen² x  +  cos² x  =  1

.                                                       sen² x  =  1  -  cos² x

.                                                       sen² x  =  1  -  (2/3)²

.                                                       sen² x  =  1  -  4/9

.                                                       sen² x  =  5/9

.                                                       sen x    = √5/3

.     tg x  =  sen x / cos x

.             =  √5/3 / 2/3

.             =  √5/3 . 3/2

.             =  √5/2

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(Espero ter colaborado)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Equação Trigonômêtrica :

Dado que :

$\mathtt{ sec(x)~=~ \dfrac{3}{2} }$ , determinar a $\mathtt{ tan(x) }$

1. Sabe-se que : $\mathtt{ sec(x)~=~\dfrac{1}{\cos(x) } }$ , Sendo assim , podemos ter que :

$\mathtt{ \dfrac{1}{\cos(x)}~=~ \dfrac{3}{2} \to \red{cos(x)~=~\dfrac{2}{3} } }$

Então a tangente sabemos que : $\mathtt{\tan(x)~=~\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} }$

Perceba que não temos o valor do seno , então teremos que achar o seno usando a relação fundamental da trigonômetria :

$\mathtt{ \huge{ \sin^2(x) + \cos^2(x)~=~1 } }$

Isolando seno , vamos ter :

$\mathtt{ \sin^2(x)~=~1 - \cos^2(x) }$

$\mathtt{ \sin(x)~=~\pm\sqrt{ 1 - \cos^2(x) } }$

$\mathtt{ \sin(x)~=~\pm \sqrt{ 1 - \Big( \dfrac{2}{3} \Big)^2 } }$

$\mathtt{ \sin(x)~=~\pm \sqrt{ 1 - \dfrac{4}{9} } }$

$\mathtt{ \sin(x)~=~ \pm \sqrt{ \dfrac{9 - 4}{9} } ~=~ \pm\sqrt{ \dfrac{5}{9} } }$

$\mathtt{ \sin(x)~=~\pm\dfrac{ \sqrt{5} }{3} }$

Note que no intervalo de [0 , 180°] Os valores do seno são sempre posetivos , então vamos ter :

$\boxed{ \mathtt{ \sin(x)~=~ +\dfrac{ \sqrt{5} }{3} } }$ ✅

Tendo achado o valor do seno ,podemos tranquilamente agora achar a tangente :

$\mathtt{ \tan(x)~=~\dfrac{ \sin(x) }{ \cos(x) } }$

$\mathtt{ \tan(x)~=~ \dfrac{ \frac{ \sqrt{5} }{3} }{ \frac{2}{3} }~=~\dfrac{ \sqrt{5} }{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\cancel{3}}{2} }$

$\boxed{ \boxed{ \mathtt{ \huge{ \green{ \tan(x)~=~\dfrac{\sqrt{5}}{2} } } } } }$

Espero ter ajudado bastante!)