Question

Boa noite poderiam me ajudar com essas questões de integrais? Agradeceria muito, estou precisando bastante!

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) $\int\limits{3x^{-1}}\, dx$

   remova a constante 3 para fora da integral

   $3\int\limits{x^{-1}}\, dx$

   $x^{-1}=\frac{1}{x}$

   substituindo

   $3\int\limits{\frac{1}{x}}\, dx$

   a integral de $\frac{1}{x}$  é  $ln|x|$, daí:

   $3ln|x|$

   adicionar uma constante à solução

   $3ln|x|+C$

-------------------------------------------------------------------------------------------

b) $\int\limits{2e^{3x}}\, dx$

   remova a constante 2 para fora da integral

   $2\int\limits{e^{3x}}\, dx$

   aplicando a integração por substituição, temos:

      u = 3x (expoente de e)

      du = 3 dx (derivada de 3x)

   temos que multiplicar e dividir o integrando por 3

   $2\int\limits{e^{3x}.\frac{1}{3}.3}\, dx$

   remova a constante $\frac{1}{3}$ para fora da integral, deixando apenas o 3,

   pois ele é a derivada de 3x.

   $2.\frac{1}{3}\int\limits{e^{3x}.3}\, dx$

   como u = 3x e du = 3 dx, substitua

   $\frac{2}{3}\int\limits{e^{u}}\, du$

   a integral de $e^{u}$ é o próprio $e^{u}$, então

   $\frac{2}{3}e^{u}$

   substituindo o u por 3x, temos

   $\frac{2}{3}e^{3x}$

   adicionar uma constante à solução

   $\frac{2}{3}e^{3x}+C$

--------------------------------------------------------------------------------------------

c) $\int\limits{(3x^{3}-x+1)}\, dx$

   isole cada termo em uma integral

   $\int\limits{3x^{3}}\, dx-\int\limits{x}\, dx+\int\limits{1}\, dx$

   remova as constantes para fora da integral

   $3\int\limits{x^{3}}\, dx-\int\limits{x}\, dx+\int\limits\, dx$

   aplique a regra da potência para cada integral

   $3\frac{x^{3+1}}{3+1}-\frac{x^{1+1}}{1+1}+\frac{x^{0+1}}{0+1}$

   $3\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+x$

   $\frac{3}{4}x^{4}-\frac{x^{2}}{2}+x$

   adicionar uma constante à solução

   $\frac{3}{4}x^{4}-\frac{x^{2}}{2}+x+C$

-------------------------------------------------------------------------------------------------

d) $\int\limits{\frac{1}{x^{4}}}\, dx$

   remova o denominador x⁴ para o numerador, invertendo o sinal do

   expoente para negativo, e multiplicando por 1

   $\int\limits{1.x^{-4}}\, dx$

   $\int\limits{x^{-4}}\, dx$

   aplique a regra da potência

   $\frac{x^{-4+1}}{-4+1}=\frac{x^{-3}}{-3}=-\frac{1}{3}x^{-3}$

   remova o x⁻³ para o denominador, invertendo o sinal do expoente

   para positivo e multiplicando por 3

   $-\frac{1}{3x^{3}}$

   adicionar uma constante à solução

   $-\frac{1}{3x^{3}}+C$

---------------------------------------------------------------------------------------------

e) $\int\limits{\sqrt{x}}\, dx$

   aplique a propriedade dos radicais: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

   $\int\limits{x^{\frac{1}{2}}}\, dx$

   aplique a regra da potência

   $\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$

   adicionar uma constante à solução

   $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$     ou     $\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+C$