Question

(ESPM) A partir do quadrado ABCD, de lado 4, constrói-se uma sequência infinita de novos quadrados, cada um com vértices nos pontos médios do lado anterior, como mostrado na figura


O comprimento da poligonal infinita destacada na figura por linhas mais grossas é igual a:
(A) 4 √¯ 2
(B) 4 √¯ 2 + 1
(C) 8 + √¯ 2
(D) 4 + 2 √¯ 2
(E) 8

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

(ESPM) A partir do quadrado ABCD, de lado 4, constrói-se uma sequência infinita de novos quadrados, cada um com vértices nos pontos médios do lado anterior, como mostrado na figura

  LEMBRANDO que os LADOS é METADE

a1 = Lado/2 = 4/2 = 2

Diagonal do quadrado  FÓRMULA

d = L√2

assim

         L√2          2√2

a2 = ----------  = --------- = √2

           2               2

então

a1 = 2

a2 = √2

q =  Razão ??? ACHAR

FÓRMULA

       a2

q = ---------

       a1

       √2

q = ---------- ( razão)

        2

FÓRMULA da Soma

          a1

Sn= ------------

         1 - q

           2

Sn = -----------

               √2

        1 - -------  SOMA com fração faz mmc = 2

               2

                2

Sn = -------------------

          2(1) - 1(√2)

           -------------

                2

               2

Sn = -------------------- divisão de fração

           2 - √2        copia (1º) e inverte o (2º) multiplicando

           ---------

                 2

                  2

Sn = 2(------------)

              2 - √2    

               2(2)

Sn = ---------------

          2 - √2

           4

Sn = -------------

           2 - √2            elimina a raiz do denominador ( Radiciação)

         4(2 + √2)

Sn = -------------------

        (2 - √2)(2 + √2)

                    4(2 + √2)

Sn = ------------------------------------

          4+ 2√2 - 2√2 - √2√2

             4(2 + √2)

Sn = --------------------

            4  + 0  - √2x2

            4(2 + √2)

Sn = ----------------------

            4 - √2²   ( elimina a √(raiz quadrada) com o (²))

             4(2 + √2)

Sn = --------------------

               4 - 2

         4(2 + √2)

Sn = ----------------

             2

Sn = 2(2 + √2)

Sn = 4 + 2√2

O comprimento da poligonal infinita destacada na figura por linhas mais grossas é igual a:

(A) 4 √¯ 2

(B) 4 √¯ 2 + 1

(C) 8 + √¯ 2

(D) 4 + 2 √¯ 2  ( resposta)

(E) 8