Question

A={2,4,6,8}. Estabeleça quantos e quais são os subconjuntos de A

Sei que é 2^4= onde
4= número de elementos
totalizando 16 subconjuntos.

Minha dúvida é: o exercício está pedindo que eu especifique quais são, mas não consigo fazer isso, eu travei aqui:

{ } {2} {4} {6} {8} {2,4} {2,6] {2,8} {4,6} {4,8} {6,8} {2.4.6,8}

mas não cheguei aos 16 subconjuntos, como fazer para representá-los corretamente?

Answer 1

Faltam apenas os subconjuntos com 3 elementos:

{4,6,8}, {2,6,8}, {2,4,8} e { 2,4,6}

Obs.: se você já aprendeu "combinação" ou número binomial, pode lembrar que se um conjunto tem n elementos, o número de subconjuntos com p elementos é $\displaystyle \binom np = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

Ou seja, no seu caso:

A possui $\displaystyle\binom 40 = 1$ subconjunto com 0 elementos, que é o { }

A possui $\displaystyle\binom 41 = 4$ subconjuntos com 1 elemento, que são {2},{4},{6} e {8}

A possui $\displaystyle\binom 42 = 6$ subconjuntos com 2 elementos, que são {2,4}, {2,6}, {2,8},  {4,6}, {4,8} e {6,8}

A possui $\displaystyle\binom 43 = 4$ subconjuntos com 3 elementos, que são {2},{4},{6} e {8}

A possui $\displaystyle\binom 44 = 1$ subconjunto com 4 elementos, que é o {2,4,6,8 }

Edit:

Vamos supor que temos um conjunto A com, por exemplo, 5 elementos e precisamos listar todos os 32 subconjuntos de A. Para facilitar, vamos supor que A = {1,2,3,4,5}

Para listar os subconjuntos, primeiro ordenamos A com uma ordem qualquer. No nosso caso, 1 será o primeiro, 2 o segundo, e assim em diante. Vamos acrescentar o elemento 0 que será o menor de todos.  O processo será o seguinte: começamos com o maior número e acrescentamos sempre numeros menores:

Começando com 5:

primeira etapa temos

5

segunda etapa temos

50 51 52 53 54

terceira etapa temos

50

510

520 521

530 531 532

540 541 542 543

quarta etapa

510

520 5210

530 5310 5321 5320

540 5410 5421 5420 5430 5431 5432

quinta etapa

510

520 5210

530 5310 53210 5320

540 5410 54210 5420 5430 54310 54320 54321

sexta etapa

510

520 5210

530 5310 53210 5320

540 5410 54210 5420 5430 54310 54320 543210

(ficou um pouco dificil de visualizar, mas isso teria que ser feito em forma de árvore para ficar facil de ver)

A partir desses números construimos os subconjuntos, basta ignorar o 0. Por exemplo, 5410 corresponde ao subconjunto {5,4,1}. Com isso obteremos metade dos subconjuntos. Observe que cada um desses subconjuntos tem o elemento 5. Para obter a outra metade dos subconjuntos, basta retirar o elemento 5 de cada um deles. Coloquei uma imagem pra ver se fica mais claro o que quero dizer.