Question

Na figura, ABCD é um quadrado. Além disso, AG é paralelo a CH, BF é paralelo a DE, FC = 2 · DF e DH = 2 · AH. A área do quadrilátero I JKL, que possui como vértices os pontos de interseção dos segmentos AG, CH, BF e DE, representa que fração da área do quadrado ABCD?

(A) 1 /9
(B) 1/8
(C) 1/13
(D) 1/16
(E) 1/17

Answer 1

Vou usar a seguinte notação:

[X] representa a área do objeto X.

Observe que os triângulos ΔBCL e ΔBGK são semelhantes pois tem um ângulo comum e GK// CL. Além disso, como BG / GC = 2, segue que a razão de semelhança é 3/2.

Como a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança, segue que:

[ BCL ] / [ BGK] = 9/4    

[ CLKG ] / [ BGK] + 1 = 9/4

[ CLKG ] / [ BGK] = 5/4   ( I )

Observe que os triângulos ΔBGK e ΔCFL são congruentes (caso ALA):

[BGK] = [CFL]   ( II )

FC = 2 CD / 3. Com isso segue que a área de ΔBCF é:

[ BCF ]  = FC * BC / 2 = 2 CD*BC/ 6

[ BCF ] = [ ABCD ] / 3  ( III )

Combinando as informações das expressões ( I ),  ( II ) e ( III ) temos:

2 [BGK] + [CLKG]  = [ABCD] / 3

(2 + 5/4) [BGK]  = [ABCD] / 3

[ BGK ] = 4 [ABCD] / 39

[CLKG] = 5 [ABCD] / 39

Como há na figura 4 paralelogramos e 4 triangulos congruentes, obtemos:

[ IJKL ] =  [ABCD] - 4 [ BGK] - 4 [CLKG]

[ IJKL ] = [ ABCD] -36[ABCD] / 39

[IJKL] = [ABCD] / 13

Ou seja:

[ IJKL ] / [ ABCD ] = 1/13

Answer 2

Resposta:

a resposta é 1/13

Explicação passo-a-passo:

espero ter ajudado