Question

Para a cônica y² - x² + 6x + 2y 9 = 0, determine os vértices e focos, e faça um
esboço no plano.

Answer 1

Resposta:

$V_1=(3,-1-1)\rightarrow V_1=(3,-2)\\V_2=(3,-1+1)\rightarrow V_2=(3,0)$

$F_1=(3,-1+\sqrt{2})\\F_2=(3,-1-\sqrt{2})$

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiro completar quadrados:

$y^2-x^2+6x+2y-9=0\\y^2+2y -(x^2-6x+9)=0\\(y+1)^2-1-(x^2-6x+9)=0\\(y+1)^2 -(x-3)^2=1$

Logo temos uma hipérbole centrada em (3,-1).

Como o menos está na frente na parte que contem o x  que é (x-3), os focos da hipérbole estão na linha vertical x=3 (pois eles ficam na linha que coincide com o centro).

Sabemos o x dos Focos, para descobrir os y's basta subir c e descer c,

onde $c=\sqrt{a^2+b^2}$ , onde a e b são os números quando a formula da cônica está do tipo:

$\frac{(y-y_0)^2}{a^2}-\frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1$, logo vemos que no caso a=b=1. Logo $c=\sqrt2$

Assim, os focos serão

$F_1=(3,-1+\sqrt{2})\\F_2=(3,-1-\sqrt{2})$

Agora os vértices, usamos do mesmo raciocinio pois sabemos que eles estão na linha vertical x=3. Basta subir "a" e descer "a"

Logo:

$V_1=(3,-1-1)\rightarrow V_1=(3,-2)\\V_2=(3,-1+1)\rightarrow V_2=(3,0)$