Question

Prove por indução matemática :

Answer 1

Demonstração:

Para n = 1 a fórmula é verdadeira.

Suponha que seja verdade para n = k. Ou seja, suponha que

$1^3 + 2^3 + \cdots + k ^3 = \dfrac{k^2(k+1)^2}{4}$

Queremos verificar que a fórmula também vale para n = k+1. Começamos então calculando 1³ + 2³ + ... + k³ + (k+1)³  e usando a hipótese de indução:

$\left[1^3 + 2^3 + \cdots + k ^3 \right] + (k+1)^3= \left[ \dfrac{k^2(k+1)^2}{4}\right] + (k+1) ^3$

Agora precisamos apenas simplifcar o membro da esquerda. Fatorando (k+1)² obtemos:

$\left[ \dfrac{k^2(k+1)^2}{4}\right] + (k+1) ^3 = (k+1)^2 \left[\dfrac{k^2}{4} + (k+1) \right] = \dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

Ou seja, concluímos que

$1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

Que é exatamente a fórmula para n = k+1. Assim, vale para n = k+1

Isso completa a demonstração.