Question

Para quais valores de k ∈ R o sistema abaixo possui nenhuma, uma ou infinitas soluções?

Answer 1

O sistema terá nenhuma solução quando k ≠ 6, infinitas soluções quando k = 6 e não é possível ter uma única solução.

Para o que o sistema linear possua nenhuma solução, as retas x - y = 3 e 2x - 2y = k deverão ser paralelas.

Multiplicando a equação x - y = 3 por 2, obtemos: 2x - 2y = 6. Portanto, para que o sistema tenha nenhuma solução, o valor de k deverá ser diferente de 6.

O sistema terá infinitas soluções quando as retas x - y = 3 e 2x - 2y = k forem coincidentes. Isso vai acontecer quando k = 6.

Perceba que o vetor normal da reta x - y = 3 é u = (1,-1). Já o vetor normal da reta 2x - 2y = k é v = (2,-2).

Os vetores u e v são linearmente dependentes. Sendo assim, as retas x - y = 3 e 2x - 2y = k serão paralelas ou coincidentes, ou seja, não é possível obter uma única solução para o sistema.