Question

Determine as retas de declive m=2 que sao tangentes a circunferência de equacao $x^{2}$+ $y^{2}$ = 5

meu professor de cálculo deu a dica que dá pra relacionar o diâmetro da circunferência com a perpendicularidade das retas m=2, mas nao consigo aplicar essa teoria

Answer 1

Resposta: y = 2x+5 e y = 2x-5

Primeira solução:

Imagine que você tem uma reta r que é tangente no ponto T a uma circunferência de centro O. Isso quer dizer que OT é perpendicular a reta r.

Aplicando isso ao seu problema, sabemos que o segmento OT tem inclinação igual a -1/2. Assim, podemos determinar o ponto T fazendo a interseção da circunferência com a reta de inclinação -1/2 passando por O (origem). Temos:

y = -x/2

x²+y² = 5

Resolvendo o sistema temos

x² + x²/4 = 5

x = +2 ou x = -2  ⇒ y = -1 ou y = 1

Assim, o sistema tem as soluções (2,-1) e (-2,1)

Portanto, a solução do problema são as retas com inclinação 2 passando por esses 2 pontos:

Reta passando por (2,-1)

y = 2x + n

-1 = 4 + n  ⇒ n = -5

y = 2x -5

Reta passando por (-2,1)

y = 2x+ n

1 = -4 + n  ⇒ n = 5

y = 2x+5

Segunda solução:

Também da pra fazer na "força bruta". Sabemos que as retas procuradas tem equação y = 2x + n. Queremos encontrar os valores de n de forma que o sistema

x²+y² = 5

y = 2x+n

tenha exatamente uma solução.

Resolvendo o sistema temos:

x² + (2x+n)² = 5

5x² + 4nx + n² - 5 = 0

Para haver único x, o discriminante da equação deve ser nulo:

Δ = b²-4ac = 0

16n² - 4*5 (n²-5) = 0

16n² - 20n² + 100 = 0

4n² = 100

n² = 25

n = +5 ou n = -5

Assim, temos as duas retas: y = 2x +5 e y = 2x-5