Question

A pintura industrial é um importante procedimento relacionado à Engenharia, especialmente à sua vertente mais ligada a processos industriais e fábricas, sendo aplicado, em grande parte das vezes, sobre superfícies de ferro ou aço (pois possuem mais do que 80% de ferro).


Deseja-se pintar a área superficial (superfície externa e lateral) de um equipamento em forma de um paraboloide, o qual pode ser descrita pela equação:


Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e são gastos 50 mL de tinta para cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada. Apresente a integral que calcula a área da superfície do equipamento em coordenadas cartesianas e em coordenadas não cartesianas. Depois, indique qual seria a quantidade de tinta, em litros, necessária para se pintar o equipamento.

Me ajudem por favor!

Answer 1

É sabido que utilizando formulações gerais de integral de superfície, temos que eles gastou um total aproximado de 1,80L.

Vamos aos dados/resoluções:  

É sabido que uma integral que representa a área de superfície (z,y) é dado pela seguinte integral:  

A = {{r √ (dZ / DX) ² + (dZ / dy)² + 1dA ;  

Onde R é a região projetada da integração no plano xy, assim fazendo estas derivadas necessário, teremos que:  

dZ/dx = 2x ;  

dZ/dy = 2y ;  

E com isso podemos fazer esta integral:  

A = {{r √(2x)² + (2y)² + 1dA ;  

Como a região de integração é um circulo de raio igual a 2( porque basta substituir z = 4 na equação), então os limites devem ser limites de um região circular:  

A = {2 - 2 { √4-x² - √4-x² √4x² + 4y² + 1dy dx

Mas perceba que esta integral é muito mais fácil de se fazer em coordenadas polares, uma vez que um circulo é muito simples em coordenadas polares:

A = {2 0 {2π 0 √4 (r.cos(0))² + 4 (r.sen (0))² + 1r d0 dr ;  

A = {2 0 {2π 0 √4r² + 1r d0 dr.  

PS: Note que esta integral é inclusive simples de resolver, pois o jacobiano de coordenadas polares que aparece junto com as diferenciais de integração é exatamente a derivada da raiz, e com isso podemos integrar:

A = {2 0 [{2π 0 √4r² + 1r d0] dr ;  

A = {2 0 [√4r² + 1r d0]2π 0  dr ;  

A = 2π {2 0 √4r² + 1r dr ;  

A = 2π [(4r² + 1) 3/2 2/3 1/8] 2  0 ;  

A = π/6 [ (4r² + 1) 3/2] 2 0 ;

A = π/6 [ (4.2 + 1) 3/2 - (4.0² + 1) 3/2]  

A = π/6 [(17) 3/2 - 1] ;  

A = π/6 (17 √17 -1) ;

Aproximando então:  

A =  π/6 (70 - 1) ;  

A = 69π / 6  

A = 23π / 2 m² ;  

Agora para sabermos quanta tinta gastou basta multiplicarmos por 0,050 L que ele gasta por metro quadrado:

T = 0,050 23π/2 m² ;  

t = 1,15π/2 ;  

Logo, teremos:  

180 L.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)