Question

Leia o texto a seguir:
"Dizemos que uma matriz Anxn é diagonizável se
seu operador associado TA : Rn →Rn > R? for
diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se A
admitir n autovetores LI.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele
está disponível em: BOLDRINI, J. L. etal. Álgebra Linear. 32 ed.
São Paulo: Harbra, 1986.
Considerando o trecho de texto apresentado, os
conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre
diagonalização, dada a matriz A = [ 1 1 0 α║ uma
transformação linear do R2, assinale a
alternativa com o valor de a para a qual a matriz
A é diagonalizável:

A) α ≠-2

B) α≠ -1

C) α≠ 1

D) α≠2

E) α≠0

Answer 1

Vamos começar calculando os autovetores de

$\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&\alpha\end{array}\right]$

Como a matriz é diagonal, os autovalores são 1 e α. Como a cada autovalor distinto corresponde ao menos um autovetor e autovetores correspondentes a autovalores distintos são LI, segue que se α≠1 a matriz é diagonalizável. Resta analizar o caso α = 1. Nesse caso é facil ver que (0,1) é autovetor, e fazendo as contas todos os autovetores são múltiplos desse. Então nesse caso a matriz não é diagonalizável.

Resposta: α ≠ 1