Question

Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e argumente sua resposta:

a) Se A é uma matriz de tamanho 2 × 2 tal que $A^{2}$ = I então A = I (sendo I=identidade)


b) Se A é uma matriz de tamanho n × n tais que $A^{2}$ = I, então A = I ou A=−I


R: as duas são falsas, porem não entendi como chegar na resposta.

Answer 1

Estamos procurando por matrizes que satisfazem a equação A² = I

Para facilitar, vamos supor que A é uma matriz diagonal e ver o que acontece:

$A = \left[\begin{array}{ccc}x&0\\0&y\end{array}\right] \Rightarrow A^2 = \left[\begin{array}{ccc}x^2&0\\0&y^2\end{array}\right]$

Ou seja, para que seja A² = I devemos ter:

x² = y² = 1

Assim, temos 4 matrizes possíveis:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] , \left[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&1\end{array}\right] , \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1\end{array}\right] , \left[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&-1\end{array}\right]$

Ou seja, existem matrizes que não são nem I nem -I que satisfazem A² = I. Isso já é o suficiente para mostrar que as afirmações são ambas falsas.

Obs.: Existem muitas matrizes que satisfazem A² = I e não são diagonais, como por exemplo a matriz a seguir:

$\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\3&-2\end{array}\right]$

Mas como encontrar essas matrizes? Uma maneira é pensar o seguinte: dizer que A² = I é o mesmo que dizer que a inversa da matriz A é a própria A. Assim, estamos procurando por matrizes que são iguais a sua inversa. Além disso, A² = I implica que det(A²) = det(I) ⇒ (det(A))² = 1 ⇒ det(A) = ±1. Assim, se a matriz A é

$A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Então a sua inversa é

$A^{-1} = \dfrac {1}{\det A}\left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]$

Assim temos dois casos:

1º caso: det A = 1

Nesse caso, para que seja A = A⁻¹ devemos ter b = -b, c = -c, a = d. Isso implica que A = I ou A = -I.

2º caso: det A = -1

Nesse caso temos a = -d. Logo, qualquer matriz com determinante -1 e elementos da digonal principal simétricos satisfaz A² = I, como é o caso dos exemplos acima.