Question

Resolva a inequação | (1/x) - 1 | < k na variável x, considerando 0 < k < 1.

Answer 1

Sendo 0 < k < 1, o exercício solicita a resolução da seguinte inequação modular na variável real e NÃO NULA x:

$\mathsf{\left|\dfrac{1}{x}\,-\,1\right|<k\qquad(i)}$

Para dar seguimento ao desenvolvimento da desigualdade (i), é imprescindível ter conhecimento de uma das inequações modulares fundamentais. Supondo que a seja um número real positivo e x uma variável real, a referida desigualdade modular fundamental é dada por:

$\mathsf{|x|<a\ \iff\ -a<x<a}$

Baseado nisso e em todas as restrições impostas sobre a variável real x e o número k, vamos à resolução da inequação (i):

$\mathsf{\qquad\, \ \ \, \left|\dfrac{1}{x}\,-\,1\right|<k}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\ \ -k<\dfrac{1}{x}\,-\,1<k}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\ \ 1-k<\dfrac{1}{x}<1+k}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\ \ \dfrac{1}{1-k}>\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}>\dfrac{1}{1+k}}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\ \ \dfrac{1}{1-k}>x>\dfrac{1}{1+k}}\\\\\\ \mathsf{\!\!\!\iff\ \ \dfrac{1}{1+k}<x<\dfrac{1}{1-k}}$

E o respectivo conjunto solução será:

$\mathsf{S=\left\{x\,\in\,\mathbb{R^{*}}:\dfrac{1}{1+k}<x<\dfrac{1}{1-k}\,,\,\forall\, k\,\in\,\! \big(0,1\big)\right\}.}$

Luiz, um grande abraço!