Question

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x). Resolvendo a equação dx/dy=x-4y+xy-4, obtem-se uma função y(x) que passa pelo ponto y(2)=0. pode-se afirmar que o valor mais proximo de y(1)é:
a) 15
b) 13
c) 6
d) 9
e) 11

Answer 1

A equação diferencial é

y' = x-4y + xy - 4

Fatorando o membro da direita temos

y' = (x+xy) -( 4y +4)

y' = x(1+y) -4(y+1)

y' = (x-4)(y+1)

Essa equação é separável, então podemos resolvê-la:

$\dfrac {dy}{dx} = (x-4) (y+1) \Rightarrow \dfrac{1}{y+1} \dfrac{dy}{dx} = x-4 \Rightarrow \displaystyle \int \dfrac1{y+1} \,dy = \int x-4 \, dx$

Resolvendo a integral ficamos com

ln (y+1) = x²/2-4x + C

y = exp (x²/2 - 4x + C) - 1

Como sabemos que y(2) = 0 temos:

0 = exp(2²/2 - 4*2 + C) - 1

exp(C-6) = 1

C = 6

Logo, a solução da EDO procurada é y(x) = exp (x² - 4x + 6) - 1

Portanto y(1) = e³ - 1 ≈ 20. Então a resposta da questão seria letra a)

(está com cara que errei alguma conta mas não consigo achar)