Question

2) Os números positivos a e b são tais que (a, b, 10) é uma progressão aritmética de razão r e (2÷3, a, b) é uma
progressão geométrica de razão q. Calcule o valor de q÷r
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Answer 1

Sabemos que numa PA, a diferença entre dois numeros consecutivos é a razão. Assim, se (a,b,10) é PA de razão r, temos:

r = b - a = 10 - b ⇒ 2b = a + 10

Já numa PG, a divisão entre dois números consecutivos é a razão. Ou seja:$q = \dfrac a{\frac 23} = \dfrac ba \Rightarrow a^2 = \dfrac 23b \Rightarrow 3a^2 =2 b$

Assim, comparando essas equações temos

a+10 = 3a²

3a² - a - 10 = 0

Δ = (-1)² - 4*3*(-10) = 121 = 11²

a = (1 + 11)/6 = 2 ou

a = (1 - 11)/6 = -5/3

Como a é positivo temos a = 2

Você pode resolver e achar o b se quiser, mas já podemos achar r e q apenas com a. Observe:

2r = (b-a) + (10-b) = 10 - a

q = 3a/2

Assim temos:

r = 4

q = 3

Logo q/r = 3/4