Question

Cálculo I - Use o processo indutivo para provar que...

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá.

Vamos separar a resolução em 3 partes:

I-Provar que: $e^x \geq 1+x$

II-Provar que: $e^x \geq 1+x+\frac{x^2}{2}$

III-Processo indutivo para provar a equação dada.

I-  $e^x \geq 1+x$

Tome a função:

$f(x)=e^x-1-x \ ; \ x\geq 0$,com derivadas:

$f'(x)=e^x-1\\f''(x)=e^x$

Olhando para a primeira derivada:

$f'(x)=0 \rightarrow e^x-1=0 \rightarrow e^x=1 \rightarrow x=0$

Assim, vemos que em x=0 temos um ponto crítico e ele é unico (pois f'(x) só é zero quando x=0).

Como f''(x)>0 , em x=0 temos um ponto de mínimo.

Logo, $f(x)\geq f(0)$,

Mas:

$f(0)=e^0-1-0=1-1=0$,

logo:

$f(x)\geq 0\\e^x-1-x \geq 0\\e^x \geq 1+x$, como queríamos.

II-  $e^x \geq 1+x+\frac{x^2}{2}$

O raciocínio vai ser muito parecido com o anterior:

$g(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2} \ ; \ x\geq 0$, com derivadas:

$g'(x)=e^x-1-x\\g''(x)=e^x-1$

Mas perceba que g'(x)=f(x). Logo já sabemos que g'(x)>=0 para x>=0.

Sabemos também que :

$e^x\geq 1 ; \ quando \ x\geq 0$ , logo:

$g''(x)=e^x-1\geq 0$

Agora, vamos tentar achar os pontos críticos, logo:

$g'(x)=e^x-1-x=0$, ja sabemos que g'(0)=0 (pois f(0)=0), temos que provar que é o único ponto crítico:

Como g''(x)>=0, g'(x) é crescente, logo com x>0, g'(x)>g'(0)=0, logo g'(x) só é 0 em x=0. Assim, temos mais uma vez que em x=0, um ponto em que g'(0)=0 e g''(0)>=0, logo é um ponto de mínimo de g.

Logo

$g(x)\geq g(0)\ ; \ mas \ g(0)=0\\ g(x)\geq 0\\e^x-1-x-\frac{x^2}{2}\geq0\\e^x\geq1+x+\frac{x^2}{2} \ ; \ x\geq0$, como queríamos.

III-Parte indutiva

Vamos lá, queremos provar que:

$e^x\geq1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$

Já temos nossos casos base, n=1 e n=2 (ambos provados acima)

Esse tipo de problema, supomos que vale para todo numero k anterior a n e se provarmos que vale para n, provamos a formula.(Indução completa)

Assim, supondo válido para para todo k anterior a n (k<=n-1):

$e^x\geq1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{k}}{k!}$, queremos provar para n (que é a inequação inicial)

Vamos lá:

Mais uma vez repetimos o mesmo raciocínio, mas agora num caso geral:

$h(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-...-\frac{x^n}{n!}$ , com derivadas:$h'(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2!}-...-\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\\h''(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2!}-...-\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}$

Mas justamente pelo passo indutivo (a suposição), temos que

$h'(x)\geq 0\\h''(x) \geq 0$, logo caimos no mesmo caso que II. Como h''(x)>=0, h'(x) é crescente, logo com x>0, h'(x)>h'(0), mas h'(0)=0, logo h'(x)>0. Assim x=0 é o único ponto crítico e como h''(0)>=0 , em x=0 temos um  ponto de mínimo, logo:

$h(x)\geq h(0)\\h(x)\geq 0\\e^x -1-x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-...-\frac{x^n}{n!}\geq0\\e^x \geq 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$, opa acabamos de provar para n.

Logo:

Supomos que vale para todo k<n e provamos para n.

Assim está provado para todo n natural.

Sobre a pergunta a mais que ele fez sobre x<0 é valido, sim é valido, eu não sei seu conhecimento em cálculo, mas olhando para expansão em série de taylor de e^x, ela é justamente essa soma só que infinita, não tendo um limite para n (logo é maior que a soma finita)

Espero que tenha entendido algo. Abração!