Question

4- Questão: Dada a função y=cos x / sen^2 x ; ; sua função derivada é:

Answer 1

Utilizand oderivada por regra do cosciente, temos que esta derivada já simplificada é dada por $f'(x)=-\frac{1+cos^2(x)}{sen^3(x)}$.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte função:

$f(x)=\frac{cos(x)}{sen^2(x)}$

Note que ela é uma função cosciente, então teremos que usar a regra do cosciente para derivarmos ela, que é dada por:

$f(x)=\frac{a}{b}$

$f'(x)=\frac{a'.b-a.b'}{b^2}$

Assim utilizando esta regra temos que:

$f'(x)=\frac{(cos(x))'sen^2(x)-(sen^2(x))cos(x)}{(sen^2(x))^2}$

$f'(x)=\frac{-sen(x)sen^2(x)-2.sen(x).cos(x).cos(x)}{sen^4(x)}$

$f'(x)=\frac{-sen^3(x)-2.sen(x).cos^2(x)}{sen^4(x)}$

Cortando um seno em cima e em baixo:

$f'(x)=\frac{-sen^2(x)-2.cos^2(x)}{sen^3(x)}$

Separando ums dos cossenos ao quadrados:

$f'(x)=\frac{-sen^2(x)-cos^2(x)-cos^2(x)}{sen^3(x)}$

$f'(x)=\frac{-1-cos^2(x)}{sen^3(x)}$

$f'(x)=\frac{-(1+cos^2(x))}{sen^3(x)}$

$f'(x)=-\frac{1+cos^2(x)}{sen^3(x)}$

Assim esta derivada já simplificada é dada por $f'(x)=-\frac{1+cos^2(x)}{sen^3(x)}$.