Question

Considere as matrizes quadradas A=( 4 3 1 1 1 0 2 0 0 ) e B=( 1 0 0 2 1 0 5 3 6 ). Obtenha a matriz X, quadrada e de ordem 3, tal que A.X=B^-1

Answer 1

A matriz X, quadrada e de ordem 3, tal que A.X = B⁻¹ é $X=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{12}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\\-\frac{25}{12}&\frac{5}{4}&-\frac{1}{12}\\\frac{83}{12}&-\frac{11}{4}&-\frac{1}{12}\end{array}\right]$.

Primeiramente, precisamos calcular a matriz inversa da matriz quadrada de ordem 3 $B=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1&0\\5&3&6\end{array}\right]$.

Para isso, é importante lembrarmos que a matriz multiplicada pela sua inversa é igual à matriz identidade.

Logo, podemos afirmar que $B^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&0\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{array}\right]$.

De acordo com o enunciado, A.X = B⁻¹. Como $A=\left[\begin{array}{ccc}4&3&1\\1&1&0\\2&0&0\end{array}\right]$ e a matriz X é quadrada de ordem três, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}4&3&1\\1&1&0\\2&0&0\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&0\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{array}\right]$.

$\left[\begin{array}{ccc}4a+3d+g&4b+h+3e&4c+3f+i\\a+d&b+e&c+f\\2a&2b&2c\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&0\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{array}\right]$.

Observe que, igualando os elementos correspondentes, podemos concluir que:

2a = 1/6

a = 1/12

2b = -1/2

b = -1/4

2c = 1/6

c = 1/12.

Com os valores de a, b e c, podemos afirmar que:

a + d = -2

1/12 + d = -2

d = -25/12

b + e = 1

-1/4 + e = 1

e = 5/4

c + f = 0

1/12 + f = 0

f = -1/12.

Por fim, com os valores de a, b, c, d, e e f, temos que:

4a + 3d + g = 1

4.1/12 + 3.(-25/12) + g = 1

g = 83/12

4b + h + 3e = 0

4.(-1/4) + h + 3.5/4 = 0

h = -11/4

4c + 3f + i = 0

4.1/12 + 3.(-1/12) + i = 0

i = -1/12.

Portanto, a matriz X é igual a $X=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{12}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\\-\frac{25}{12}&\frac{5}{4}&-\frac{1}{12}\\\frac{83}{12}&-\frac{11}{4}&-\frac{1}{12}\end{array}\right]$.