Question

o preco de venda por unidade de um certo produto é de 50 euros.se x representa o numero de unidades e c(x)=1000+3x+0,5x² o custo total, determine o numero de unidades que maximiza o lucro.

Answer 1

Função custo:

$C_{(x)}=0,5x^2+3x+1.000$


Função receita:

$R_{(x)}=50x$


A função lucro é a função receita menos a função custo:

$L_{(x)}=R_{(x)}-C_{(x)}\\\\ L_{(x)}=(50x)-(x^2+3x+1.000)\\\\ L_{(x)}=50x-x^2-3x-1.000\\\\ L_{(x)}=-x^2+47x-1.000$


Temos uma função do segundo grau, portanto, teremos uma parábola como gráfico. O valor do termo a é negativo, logo, é uma parábola com concavidade voltada para baixo.


Podemos encontrar o valor de x que maximiza o lucro utilizando derivada ou a função que retorna o valor x do vértice.


Utilizarei a função que retorna o x do vértice:

$Termos:\ \ \ a=-1\ \ \ \ \ b=47\ \ \ \ \ c=-1.000\\\\\\ x_v=\dfrac{-b}{2a}\\\\\\ x_v=\dfrac{-(47)}{2(-1)}\\\\\\ x_v=\dfrac{-47}{-2}\\\\ x_v=23,5$

Como não existe unidade fracionada e o valor ficou exatamente entre 23 e 24, logo, esses dois valores serão as unidades que maximizam o lucro.


A resposta é: 23 ou 24 unidades maximizam o lucro


Espero ter ajudado.
Bons estudos!