Question

Duas barras cilíndricas de mesma secção transversal e comprimentos L1= 40cm e L2= 60cm são emendadas de modo a constituir uma única barra cilíndrica (com a barra 1 colocada à esquerda) . Essa barra de 100cm de comprimento está com a extremidade esquerda a 10°C e a extremidade direita a 90°C. Considere que os coeficientes de condutibilidade das barras 1 e 2 sejam, respectivamente: k1=0,10cal/s.cm.°C e k2=0,20cal/s.cm.°C. Se houver um fluxo de calor num regime estacionário ao longo dessa barra qual é, aproximadamente, a temperatura (em °C) na emenda?

Answer 1

A temperatura na junção das duas barras será de 55,52 ºC.

Cada uma das duas barras vai servir como um condutor de calor, e por elas passarão um fluxo de calor. Vamos calcular para cada uma delas:

Barra 1:

Sabemos os seguintes dados:

• Comprimento = L1 = 40 cm;
• Coeficiente de condutibilidade térmica = k1 = 0,1 cal/s*cm*ºC;
• Temperatura da extremidade esquerda = Temperatura da extremidade esquerda da barra toda = 10 ºC;
• Temperatura da extremidade direita = Temperatura da junção = T;
• Área de secção transversal = A.

Logo, seu fluxo de calor será:

$\phi _1 = \frac{k_1A\Delta T_1}{L_1} = \frac{0,1*A*(T - 10)}{40} = 0,0025A(T - 10)$

Vale ressaltar que o calor vai do ponto de maior temperatura (junção) para o de menor temperatura (extremidade esquerda).

Barra 2:

Já temos os dados:

• Comprimento = L2 = 60 cm;
• Coeficiente de condutibilidade térmica = k1 = 0,2 cal/s*cm*ºC;
• Temperatura da extremidade esquerda = Temperatura da junção = T;
• Temperatura da extremidade direita = Temperatura da extremidade direita da barra toda = 90 ºC;
• Área de secção transversal = A.

Logo, o fluxo de calor vai ser:

$\phi _2 = \frac{k_2A\Delta T_2}{L_2} = \frac{0,2*A*(90 - T)}{60} = 0,0033A(90 - T)$

Para que o fluxo esteja em regime estacionário por toda a barra, devemos igualar o fluxo em cada uma das barras que já calculamos, ou seja:

$\phi_1 = \phi _2\\\\0,0025A(T - 10) = 0,0033A(90 - T)\\\\0,0025(T - 10) = 0,0033(90 - T)\\\\T - 10 = 1,32(90 - T) = 118,8 - 1,32T\\\\T + 1,32T = 118,8 + 10\\\\2,32T = 128,8\\\\T = 55,52 ^oC$

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