Question

Qual a integral da função f (x)= cos² (x)

Answer 1

Resposta:

$\frac{sen(2x)}{4}+\frac{x}{2}+K$

Explicação passo-a-passo:

Temos 2 opções de fazer essa integral:

I-Usando identidade trigonométrica

Sabemos que:

$cos(2x)=2cos^2(x)-1$

Logo:

$cos^2(x)=\frac{cos(2x)+1}{2}$, integrando:

$\int cos^2(x)dx=\int \frac{cos(2x)+1}{2}dx$, resolvendo a segunda integral:

$\int\frac{cos(2x)+1}{2}dx\\\\=\frac{1}{2}(\int cos(2x)dx+\int1dx)\\=\frac{1}{2}(\frac{sen(2x)}{2}+x+C)\\=\frac{sen(2x)}{4}+\frac{x}{2}+K$

Onde C e K são constantes reais.

II-Integração por partes

Relembrando a fórmula:

$\int udv=uv-\int vdu$

Como cos² (x)=cos(x)*cos(x), tome u=cos(x) e dv=cos(x)dx

Logo du=-sen(x) e v=sen(x), assim:

$\int cos(x)cos(x)dx=cos(x)sen(x)-\int -sen(x)sen(x)dx\\\int cos^2(x)dx=cos(x)sen(x)+\int sen^2(x)dx$

Mas sabemos que  sen²(x)=1-cos²(x), substituindo:

$\int cos^2(x)=cos(x)sen(x)+\int 1-cos^2(x)dx\\\int cos^2(x)=cos(x)sen(x)+\int 1dx -\int cos^2(x)dx$,passando a integral de cos^2(x) para o outro lado:

$2\int cos^2(x)dx=cos(x)sen(x)+\int 1dx\\2\int cos^2(x)dx=cos(x)sen(x)+x+C\\\int cos^2(x)dx=\frac{cos(x)sen(x)}{2}+\frac{x}{2}+K$

É o mesmo resultado, apenas com uma mudança de identidades trigonométricas.