Question

Resolva a seguinte questão:
i^1+i^2+...+i^50

Answer 1

Neste tipo de questão, você tem que reconhecer o padrão que ocorre quando elevamos a unidade imaginária i a um certo expoente. Veja:

$i^1 = i \\\\ i^2=-1 \\\\ i^3= i^1*i^2=i*(-1)=-i \\\\ i^4=i^2*i^2=(-1)*(-1)=1 \\\\ .\\\\.\\\\.$

A partir do expoente 4, os números começam a se repetir, sempre nesta sequência: $i, -1, -i, 1$.

Agora note que se você somar esses 4 números, o resultado é 0, pois$i+(-1)+(-i)+1=0$

Então, se somarmos um número múltiplo de 4 de elementos, o resultado sempre será 0. Por exemplo:

$i^1+i^2+i^3+i^4=i+(-1)+(-i)+1=0 \\\\ i^1+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7+i^8=i+(-1)+(-i)+1 + i+(-1)+(-i)+1=0 \\\\.\\\\.\\\\.$

Ora, sabemos que 48 é um número múltiplo de 4. Logo, a soma $i^1+i^2+...+i^{48}=0$

Então, podemos concluir o seguinte:

$i^1+i^2+...+i^{50}= \\\\ (i^1+i^2+...+i^{48})+i^{49}+i^{50}= \\\\ i^{49}+i^{50} = i-1$

Portanto, a resposta é i-1.