Question

Dado o conjunto W = {(x,y,z) / y = 0} podemos afirmar que:

A) é um espaço vetorial pois obedece as propriedades da adição e da multiplicação por um escalar.
B) Não é espaço vetorial pois não obedece a propriedade da adição.
C) Não é espaço vetorial pois não obedece a propriedade da multiplicação por um escalar.
D) Não é espaço vetorial pois, apesar de obedecer as propriedades da adição e da multiplicação por escalar, não possui o vetor (0, 0, 0)
E) Não é espaço vetorial pois y = 0

Answer 1

Resposta:

A

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá

W={(x,y,z)/ y=0}

Estou assumindo que estamos em R³, logo x e z são números reais quaiquer.

Vamos nos munir das operações de soma e multiplicação por escalar que ja temos em R³, assim já não precisamos provar grandes coisas, só precisamos provar 3 coisas:

I-W é não vazio

II-W é fechado para a soma

III-W é fechado para multiplicação de escalar

Segue:

I- W é obviamente não vazio, temos por exemplo o vetor (1,0,1) no conjunto.

II-W ser fechado para a soma se resume na equação:

$Se \ u \in W ,v \in W \rightarrow u+v \in W$,sendo válido para todo u e v de W.

Assim, pegando dois elementos quais quaisquer u e v de W:

u=(x1,0,z1), v=(x2,0,z2),somando:

u+v=(x1+x2,0,z1+z2), mas vemos claramente que esse vetor está em W, pois é do tipo (numero real,0, numero real) , logo W é fechado para soma.

III-W ser fechado para multiplicação de escalar se resume na equação:

$Se \ u \in W, \alpha \in R \rightarrow \alpha u \in W$, valido para todo u em W e todo alfa real.

Assim, pegando um elemento qualquer u de W:

u=(x,0,z) , multiplicando por escalar:

u=(αx,0,αz) que está em W, pois é um vetor do tipo (numero real,0,numero real). Logo W é fechado por multiplicação por escalar.

Conclui-se que W munido das operações elementares do R³ é espaço vetorial.