Question

1- A figura mostra dois anéis concêntricos de raios R e R´ = 2R. O ponto P está no eixo central Z a uma distância D = 5 R do centro dos anéis. O anel maior possui uma carga +Q.
a) Em termos de Q, qual deve ser a carga do segundo anel para que o campo resultante em P seja nulo?
b) Se a carga do anel maior é +Q e a do menor -3Q, escreva uma expressão para o campo resultante em P.
c) Como fica a expressão anterior se D for muito maior que R?

Answer 1

Para determinar a carga do segundo anel para que o campo resultante em P seja nulo devemos calcular o campo elétrico que uma parte do anel, com uma carga infinitesimal exerce no ponto P.

$\boxed{dE = K * \frac{dq}{d^{2}}}$

Onde d é distância entre um ponto do anel e um ponto P (figura 1). Assim podemos calcular usando a geometría o valor de d² em função de R e D, e a equação fica:

$\boxed{dE = K * \frac{dq}{D^{2}\;+\; R^{2}}}$

Asim como:

$ER_{1} - ER_{2} = 0$

Temos que:

$\frac{K\;*\;d\;*\;q_{1}}{(D^{2}\;+\; R^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{K\;*\;d\;*\;q'}{(D^{2}\;+\; R^{2})^{\frac{3}{2}}}$

Simplificamos as equações:

$\frac{q_{1}}{(D^{2}\;+\; R^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{q'}{(D^{2}\;+\; R^{2})^{\frac{3}{2}}}$

Agora substituímos o valor da distância e R'  e resolvemos o denominador:

$\frac{q_{1}}{(5R)^{2}\;+\; R^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{q'}{((5R)^{2}\;+\; (2R)^{2})^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{q_{1}}{(25R^{2}\;+\; R^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{q'}{(25R^{2}\;+\; 4R^{2})^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{q_{1}}{(26R^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{q'}{(29R^{2})^{\frac{3}{2}}}$

$q'= \frac{(29R^{2})^{\frac{3}{2}}}{(25R^{2})^{\frac{3}{2}}} * q_{1}$

$q'= (\frac{29}{25})^{\frac{3}{2}} * q_{1}$

$\boxed{q' = 1,249\;*q_{1}}$