Question

$\mathsf{\mbox{\textsf{Prove que }}\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}} \ \mbox{\textsf{\' e racional}}}$

Answer 1

Nesta resolução abordaremos a prova da racionalidade da seguinte expressão aritmética infinita:

$\large\begin{array}{I}\mathsf{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\qquad(i)}\end{array}$

Dessa maneira, com o objetivo de determinar o seu valor, é preciso igualá-la a uma constante real k, que por sua vez é obviamente positiva. Sendo assim, a expressão acima torna-se a equação:

$\large\begin{array}{I}\mathsf{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=k\qquad(ii)}\end{array}$

Agora, repare que uma das parcelas (segunda parcela) da soma situada no interior do primeiro radical quadrático de (i) é também uma expressão infinita, e mais ainda, é EXATAMENTE IGUAL a k. Dessarte, para encontrar o valor de k, deve-se partir da equação (ii) e proceder tal como descrito abaixo:

$\large\begin{array}{L}\mathsf{\!\!\!\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=k}\\\\ \mathsf{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Longrightarrow\quad 2+\mathsf{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=k^2}\\\\ \mathsf{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iff\ \ \ \!\!\underbrace{\mathsf{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}_{k}=k^2\!-2}\end{array}$

$\large\begin{array}{l}\mathsf{\Longrightarrow\quad k^2-2=k}\\\\ \mathsf{\!\Longleftrightarrow\quad k^2-k-2=0}\\\\\ \mathsf{\!\!\!\!\!\iff\quad \!k^2+k-2k-2=0}\\\\\ \mathsf{\!\!\!\!\!\iff\quad \!k\big(k+1\big)\!-2\big(k+1\big)\!=0}\\\\\ \mathsf{\!\!\!\!\!\iff\quad \!\!\big(k-2\big)\!\big(k+1\big)\!=0}\\\\\ \mathsf{\!\!\Longrightarrow\quad\,k-2=0\ \ \big(pois\ k>0\big)}\\\\\ \mathsf{\!\!\!\!\!\iff\ \ \: \, \!k=2}\end{array}$

Por fim, baseado no valor de k obtido acima, conclui-se então o resultado:

$\large\begin{array}{I}\mathsf{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=2\,\in\,\mathbb{Q}}\end{array}$

$\mathsf{Q.E.D.}$

Vladimir050, um grande abraço!