Question

Dados os vetores u = (2,-1,3) e v = (1,-4,5), achar um vetor x ortogonal a u e v e tal que | x | = 8.

Obs.: a cima de u, v e x há uma seta indicando vetor.

Answer 1

Se x_|_u e x_|_v, então, x é paralelo ao produto vetorial entre u e v, ou seja:

x = k(u^v)

u^v = $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-1&3\\1&-4&5\end{array}\right]$

u^v = (7, -7, -7)

Temos que:

x = k(u^v) então

x = k(7, -7, -7)

x = (7k, -7k, -7k)

Como |x| = 8

$\sqrt{ (7k)^{2} + (-7k)^{2} + (-7k)^{2} } = 8$

Elevando ambos os membros ao quadrado

$(7k)^{2} + (-7k)^{2} + (-7k)^{2}= 64 \\ \\ 49k^{2} + 49k^{2} + 49k^{2}= 64 \\ \\ 147k^{2}= 64 \\ \\ k^{2}= \frac{64}{147} \\ \\ k = +- \frac{ \sqrt{64} }{ \sqrt{147} } = +- \frac{8}{7 \sqrt{3} } \\ \\ +- \frac{8}{7 \sqrt{3} } . \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = +- \frac{8 \sqrt{3} }{21}$

Assim, 

x = $\frac{8 \sqrt{3} }{21}$ (7, -7, -7)

ou

x = $- \frac{8 \sqrt{3} }{21}$ (7, -7, -7)