37) Determine o ponto comum às retas ĀB e CD, no caso
em que:
a) A(1, 2), B(-5, 6), C(3, 3), D(4, -1).
b) A(-3, -6), B(0, 0), C(2, 5), D(-7, 4).
c) A(3, 6), B(4, 7), C(-1, -2), D(-4, -3).
Respostas
Resposta:
a) P (37/10, 1/5)
b) P (43/17, 86/17)
c) P (-7, -4)
Explicação passo-a-passo:
Equações de retas são dadas pela fórmula y=mx+n, sendo m e n números reais.
Item a
Reta AB
Se y = mx + n, podemos substituir nessa fórmula os valores de x e y dos pontos A e B, para obter um sistema.
ponto A:
y = mx + n --> 2 = m.1 + n --> n = 2 - m
ponto B:
y = mx + n --> 6 = m.(-5) + n --> n = 5m + 6
Para resolver o sistema, podemos igualar as duas expressões de n
2-m = 5m + 6 --> -6m = 4 --> m = -2/3
Para descobrir n, podemos substituir o valor de m em uma das expressões que já temos
n = 2 - m --> n = 2 - (-2/3) --> n = 8/3
Assim, a reta AB é dada pela fórmula y = -2/3x + 8/3
Reta CD
Para encontrar a formula da reta CD, fazemos o mesmo que com a reta AB:
ponto C:
y = mx + n --> 3 = m.3 + n --> n = 3 - 3m
ponto D:
y = mx + n --> (-1) = m.4 + n --> n = (-1) - 4m
Para resolver o sistema, podemos igualar as duas expressões de n
3 - 3m = (-1) - 4m --> m = -4
Para descobrir n, podemos substituir o valor de m em uma das expressões que já temos
n = 3 - 3m --> n = 3 - 3.(-4) --> n = 3 + 12 --> n = 15
Assim, a reta CD é dada pela fórmula y = -4x + 15
No ponto comum às duas retas, o valor de y do ponto na reta AB é igual ao valor de y do ponto na reta CD. Assim, podemos igualar as duas expressões para y:
y = -2/3x + 8/3 e y = -4x + 15
-2/3x + 8/3 = -4x + 15
-2x + 8 + -12x + 45
10x = 37
x = 37/10
Para obter o valor de y, podemos substituir o valor de x em uma das fórmulas:
y = -4x + 15
y = -4 . 37/10 + 15
y = -148/10 + 15
y = 2/10
y = 1/5
Assim, o ponto comum às retas AB e CD é o ponto P(37/10, 149/5)
Para resolver os outros itens, podemos usar o mesmo procedimento:
Item b
Reta AB
ponto B:
y = mx + n --> 0 = m.0 + n --> n = 0
ponto A:
y = mx + n --> -6 = m.(-3) + 0 --> 3m = 6 --> m = 2
Assim, a reta AB é dada pela fórmula y = 2x
Reta CD
ponto C:
y = mx + n --> 5 = m.2 + n --> n = 5 - 2m
ponto D:
y = mx + n --> 4 = m.(-7) + n --> n = 4 + 7m
Igualando as duas expressões de n, temos:
5 - 2m = 4 + 7m --> -9m = -1 --> m = 1/9
Substituir o valor de m, temos:
n = 5 - 2m --> n = 5 - 2.(1/9) --> n = 5 - 2/9 --> n = 43/9
Assim, a reta CD é dada pela fórmula y = 1/9x + 43/9
Igualando as duas expressões para y, temos:
y = 2x e y = 1/9x + 43/9
2x = 1/9x + 43/9
18x = x + 43
17x = 43
x = 43/17
Substituindo o valor de x, temos:
y = 2x
y = 2 . 43/17
y = 86/17
Assim, o ponto comum às retas AB é o ponto P(43/17, 86/17)
Item c
Reta AB
ponto A:
y = mx + n --> 6 = m.3 + n --> n = 6 - 3m
ponto B:
y = mx + n --> 7 = m.4 + n --> n = 7 - 4m
Igualando as duas expressões de n, temos:
6 - 3m = 7 - 4m --> m = 1
Substituindo o valor de m, temos:
n = 6 - 3m --> n = 6 - 3.1 --> n = 6 - 3 --> n = 3
Assim, a reta AB é dada pela fórmula y = x + 3
Reta CD
ponto C:
y = mx + n --> -2 = m.(-1) + n --> n = m - 2
ponto D:
y = mx + n --> -3 = m.(-4) + n --> n = 4m - 3
Igualando as duas expressões de n, temos:
m - 2 = 4m - 3 --> -3m = -1 --> m = 1/3
Substituindo o valor de m, temos:
n = m - 2 --> n = 1/3 - 2 --> n = -5/3
Assim, a reta CD é dada pela fórmula y = 1/3x - 5/3
Igualando as duas expressões para y, temos:
y = x + 3 e y = 1/3x - 5/3
x + 3 = 1/3x - 5/3
3x + 9 = x - 5
2x = -14
x = -7
Substituindo o valor de x, temos:
y = x + 3
y = -7 + 3
y = -4
Assim, o ponto comum às retas AB é o ponto P(-7, -4)