Question

Deseja-se pintar a área superficial (superfície externa e lateral) de um equipamento em forma de um paraboloide, o qual pode ser descrita pela equação

Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e são gastos 50 mL de tinta para cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada.
Apresente a integral que calcula a área da superfície do equipamento em coordenadas cartesianas e em coordenadas não cartesianas. Depois, indique qual seria a quantidade de tinta, em litros, necessária para se pintar o equipamento.

Answer 1

A fórmula  da integral de superfície para $z=x^2+y^2$ é

$\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_ {-2}^2\,\,\,_D\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dxdy$. (em coordenadas cartesianas)

$\int_{0}^{{2\pi}} \int_ {0}^2\,\,\sqrt{4r^2+1}\,\,rdrd\phi$ (em coordenadas polares)

a área é aproximadamente 36,2 $m^2$ e 1,810 litros de tinta para ser pintada

Coordenadas Cartesianas

Podemos encontrar pela forma geral de uma integral de superfície: $\int \int_ D dS$ onde $dS=|{\bf R_x\times R_y}|$

Além disso, relembre que $|{\bf R_x\times R_y}|$ é a norma do determinante

$|{\bf R_x\times R_y}|=\begin{vmatrix}{\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\\\ \dfrac{\partial x}{\partial x}&\dfrac{\partial y}{\partial x}&\dfrac{\partial z}{\partial x}\\\\ \dfrac{\partial x}{\partial y}&\dfrac{\partial y}{\partial y}&\dfrac{\partial z}{\partial y} \end{vmatrix}$

Portanto o argumento da integral em coordenadas cartesianas para a função $z=x^2+y^2$ é

$\int \int_ D\sqrt{(2x)^2+(2y)^2+1}dA$

e podemos encontrar pela norma do  determinante

$|{\bf R_x\times R_y}|=\begin{vmatrix}{\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\\\ 1&0&2x\\\\ 0&1&2y \end{vmatrix}=2x{\bf i}+2y{\bf j}-1{\bf k}$

a norma deste determinante é $(2x)^2+(2y)^2+(-1)^2$ e por isso teremos a integral dupla escrita como

$\int \int_ D\sqrt{4x^2+4y^2+1}dxdy$

Falta agora encontrar os limites de integração.

Como z<4 podemos escrever $x^2+y^2<4$

Em seguida, podemos escrever y em função de x

$y^2<4-x^2$

$y<\pm\sqrt{4-x^2}$

Assim, podemos colocar a variável $x$ variando de -2 até 2 e a variável $y$ variando de $-\sqrt{4-x^2}$ até $+\sqrt{4-x^2}$.

$\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_ {-2}^2\,\,\sqrt{4x^2+4y^2+1}dxdy$.

Poderíamos partir para cima de integrar, pois já temos tudo completo, entretanto tem um jeito mais fácil.

Coordenadas Polares

Se escrever em coordenadas polares, teremos

$x=r\,cos(\phi)$

$y=r\,sin(\phi)$

antes de substituir na integral, vale lembrar que ao mudar para coordenadas polares teremos $dxdy=rdrd\phi$ e que o intervalo de integração será diferente.

não vamos mais integrar em x e em seguida em y, mas sim integrar em r e em seguida em $\phi$

assim, teremos um raio de valor $r<2$ e um angulo de valor $0<\phi<2\pi$

$\int_{0}^{2\pi} \int_ {0}^2\,\,\sqrt{4r^2cos^2(\phi)+4r^2sin^2(\phi)+1}\,\,rdrd\phi=\int_{0}^{{2\pi}} \int_ {0}^2\,\,\sqrt{4r^2+1}\,\,rdrd\phi$

agora podemos resolver esta integral :

Primeiro integramos em $\phi$ por que $r$ e

$\int_{0}^{{2\pi}} \int_ {0}^2\,\,\sqrt{4r^2+1}\,\,rdrd\phi=\int_ {0}^2\,\,2\pi\sqrt{4r^2+1}\,\,rdr$

Em seguida fazemos a substituição $u=4r^2+1$ teremos $du=8r\rightarrow r=\frac{1}{8}du$

E como $u=4r^2+1$ teremos a seguinte mudança nos limites de integração:

• para $r=0$ teremos $u=4\times0^2+1\rightarrow u=1$

• para $r=2$ teremos $u=4\times2^2+1\rightarrow u=17$

$\int_ {0}^2\,\,2\pi\sqrt{4r^2+1}\,\,rdr=\int_ {1}^{17}\,\,2\pi\sqrt{u}\,\,\frac{1}{8}du$

Por fim, encontramos:

$\int_ {1}^{17}\,\,2\pi\sqrt{u}\,\,\frac{1}{8}du=\dfrac{\pi u^\frac{3}{2}}{6}\begin{vmatrix}^1\\\\ _{17}\end{matrix}=\dfrac{(17^\frac{3}{2}-1)\pi}{6}\approx36,2$

Portanto a área é aproximadamente 36,2 $m^2$ e gasta-se 1810 ml para pintar esta área.

Ou seja, gasta-se 1,810 litros.