Encontre o trigésimo quinto termo da P.A. 7,10,13,16

Respostas

respondido por: Kauaneeelias

Resposta: 109

Explicação passo-a-passo:

Considere que a subtração de termos consecutivos resulta na razão (r):

aₙ - aₙ₋₁= r

a₂ - a₁ = r

10 - 7= 3 ⇒ r=3

Tendo a fórmula:

a₁+ r.(n-1)=aₙ (termo geral da P.A.)

Faça-se a substituição dos termos:

a₃₅= a₁ + 3.(35-1)

a₃₅ = 7 + 3.34

a₃₅ = 109

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (7, 10, 13, 16,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 7

c)trigésimo quinto termo (a₃₅): ?

d)número de termos (n): 35 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 35ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do trigésimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 10 - 7 ⇒

r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o trigésimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₃₅ = 7 + (35 - 1) . (3) ⇒

a₃₅ = 7 + (34) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₃₅ = 7 + 102 ⇒

a₃₅ = 109

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O trigésimo quinto termo da P.A.(7, 10, 13, ...) é 109.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₃₅ = 109 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o trigésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

109 = a₁ + (35 - 1) . (3) ⇒

109 = a₁ + (34) . (3) ⇒

109 = a₁ + 102 ⇒ (Passa-se 102 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

109 - 102 = a₁ ⇒

7 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 7 (Provado que a₃₅ = 109.)

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