Question

Se um operador linear ∶ ℝ
3 → ℝ
3
satisfaz (1, 0, 1) = (1, 0, 1), (−1, 2, 0) = (0, 0, 0) e
(0, 1, −2) = (0, −2, 4) pode-se afirmar que seu polinômio característico é

Answer 1

Resposta:

x³+x²-2x

Explicação passo-a-passo:

Acho que você quis dizer que o operador T satisfaz:

T(1,0,1) = (1,0,1)

T(-1,2,0) = (0,0,0)

T(0,1,-2) = (0,-2,4)

Geralmente nesse tipo de questão seria necessário achar uma representação de T em forma de matrizes, e calcular o polinomio caracteristico usando

p(x) = det (T-xI)

Mas nesse caso, o problema ja deu os autovetores:

u =  (1,0,1) é autovetor com autovalor 1 pois Tu = 1u

v = (-1,2,0) é autovetor com autovalor 0 pois Tv = 0v

w = (0,1,-2) é autovetor com autovalor -2 pois Tw = -2w

Ou seja, os autovalores de T são 1,0,-2

Assim, o polinômio característico é

p(x) = (x-1)(x-0)(x+2) = x³+x²-2x