Question

Provar que se A ⊂ D e B ⊂ D, então A ∩ B ⊂ D.

Answer 1

Queremos provar que se $\mathsf{A \subset D}$ e $\mathsf{B \subset D}$, então $\mathsf{(A \cap B) \subset D}$

Por hipótese, temos $\mathsf{A \subset D,}$ então considerando $\mathsf{x \in A}$ infere-se que $\mathsf{x \in D, \forall x \in A .}$ Analogamente, se $\mathsf{B \subset D}$, então $\mathsf{\forall y\in B,}$ decorre que $\mathsf{y \in D.}$

Considere agora $\mathsf{z \in A \cap B.}$ Assim, $\mathsf{z \in A}$ e $\mathsf{ z \in B.}$ Daí, pelas observações feitas, deduz-se que $\mathsf{z \in D.}$

Sabendo que a equivalência a seguir é válida:

$\mathsf{X \subset Y \Longleftrightarrow \forall x \in A ; x \in X \Rightarrow x \in Y}$

conclui-se:

$\mathsf{(A \subset D) \wedge (B \subset D) \implies (A \cap B) \subset D}$

como se queria demonstrar.