Question

Demonstrar:
A ∩ B = ∅ ⟹ A ∩ B′ = A

Answer 1

Podemos fazer essa demonstração por contraposição, isto é, podemos mostrar que se $\mathsf{A \cap B' \neq A,}$ então $\mathsf{A \cap B \neq \varnothing.}$

Dessa forma, mostremos que:

$\mathsf{A \cap B' \neq A \implies A \cap B \neq \varnothing.}$

De fato, se $\mathsf{A \cap B' \neq A,}$ então $\mathsf{A \not \subset B'}$, ou seja, existe $\mathsf{x \in A}$ tal que $\mathsf{x \notin B'.}$ Uma vez que $\mathsf{B'}$ representa o complementar do conjunto $\mathsf{B,}$ segue que $\mathsf{x \in B, }$ pois $\mathsf{x \notin B'.}$

Vê-se, desse modo, que foi possível encontrar ao menos um elemento que pertence tanto ao conjunto A quanto ao B. Portanto, $\mathsf{A \cap B \neq \varnothing.}$

Logo, está provado que:

$\mathsf{A \cap B' \neq A \implies A \cap B \neq \varnothing.}$

Como uma condicional e sua contrapositiva são logicamente equivalentes, decorre:

$\mathsf{A \cap B = \varnothing \implies A \cap B' = A \quad \blacksquare}$