Question

considere o quadrado ABCD, cujo lado mede 5 unidades, e o triângulo equilátero EFG.
cujo lado mede 10 unidades, representados no sistema cartesiano.
a) escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as
equações das retas AB, BC, CD, DA, AC e BD.
b)escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as
equações das retas EF, FG, GE e OM, onde M é o ponto médio do lado EF e Oéo
ponto médio do lado GF​

Answer 1

a) Para o quadrado ABCD, sistema de coordenadas cartesianas que considere mais adequado, seria o seguinte:

A (0,0)

B (0,5)

C (5,5)

D (5,0)

AB → x = 0

BC → y = 5

CD → x = 5

DA → y = 0

AC → y = x

BD → y = -x + 5

b) Considerando o triângulo EFG

E (0, 0)

F (5, (5√3)/2)

G (0,10)

M (5/2, 5)

EF → y = (x√3)/2

FG → y = - (x√3)/2 + 5√3

GE → y = 0

EM → y = 2x

Answer 2

Aplicaremos nossos conceitos de geometria analítica para calcular as equações de cada uma das retas nos sistemas de coordenadas da figura anexada.

A equação de reta que passa por dois pontos pode ser calculada pela seguinte equação generalista:

$x*(y_a - y_b) + y*(x_b - x_a) + x_a*y_b - x_by_a = 0$

, onde x e y são as coordenadas da nossa equação e os dois pontos são $A(x_a,y_a)$ e $B(x_b,y_b)$.

a) Na figura anexada essa resolução está representada pelo sistema na cor verde.

Olhando para a figura podemos destacar os seguintes pontos:

• A = (0,5);
• B = (5,5);
• C = (5,0);
• D = (0,0).

Interessante notarmos que adotamos a origem do nosso sistema de coordenadas como sendo o vértice D do quadrado ABCD.

Reta AB:

Substituindo as coordenadas dos pontos A e B na equação geral da reta:

$x*(y_a - y_b) + y*(x_b - x_a) + x_a*y_b - x_by_a = 0\\\\x*(5 - 5) + y*(5 - 0) + 0*5 - 5*5 = 0\\\\5y - 25 = 0\\\\y - 5 = 0\\\\y = 5$

Reta BC:

Substituindo agora os pontos B e C na equação geral da reta:

$x*(y_b - y_c) + y*(x_c - x_b) + x_b*y_c - x_cy_b = 0\\\\x*(5 - 0) + y*(5 - 5) + 5*0 - 5*5 = 0\\\\5x - 25 = 0\\\\x - 5 = 0\\\\x = 5$

Reta CD:

Agora vamos substituir os pontos C e D na equação geral da reta:

$x*(y_c - y_d) + y*(x_d - x_c) + x_c*y_d - x_dy_c = 0\\\\x*(0 - 0) + y*(5 - 0) + 5*0 - 0*0 = 0\\\\5y = 0\\\\y = 0$

Reta DA:

Substituindo os pontos D e A na mesma equação geral da reta anterior:

$x*(y_d - y_a) + y*(x_a - x_d) + x_d*y_a - x_ay_d = 0\\\\x*(0 - 5) + y*(0 - 0) + 0*5 - 0*0 = 0\\\\-5x = 0\\\\x = 0$

Reta AC:

A reta AC equivale a uma das diagonais do quadrado ABCD. Substituindo então os pontos A e C na equação geral da reta:

$x*(y_a - y_c) + y*(x_c - x_a) + x_a*y_c - x_cy_a = 0\\\\x*(5 - 0) + y*(5 - 0) + 0*5 - 5*0 = 0\\\\5x + 5y = 0\\\\x + y = 0$

Reta BD:

Por fim teremos a segunda diagonal desse quadrado ABCD. Aplicando novamente a equação geral da reta para os pontos B e D:

$x*(y_b - y_d) + y*(x_d - x_b) + x_b*y_d - x_dy_b = 0\\\\x*(5 - 0) + y*(0 - 5) + 5*0 - 0*5 = 0\\\\5x - 5y = 0\\\\x - y = 0$

b) O triângulo e seu respectivo sistema de coordenadas estão representados na cor vermelha na figura anexada.

O primeiro passo aqui é calcularmos o valor da altura desse triângulo equilátero. Todo triângulo desse tipo tem altura equivalente a:

$h = \frac{L\sqrt{3} }{2}$

Como nosso triângulo possui lado igual a 10, então sua altura será de:

$h = \frac{L\sqrt{3} }{2} = \frac{10\sqrt{3} }{2} = 5\sqrt{3}$

Agora devemos analisar cada um dos pontos médios destacados pelo enunciado. O ponto O é mais simples, pois equivale à origem do nosso sistema de coordenadas adotado.

Já o ponto M terá suas coordenadas calculadas por:

$x_M = \frac{x_E + x_F}{2} \\\\y_M = \frac{y_E + y_F}{2}$

Pegando os pontos E e F da figura, vamos ter:

$x_M = \frac{x_E + x_F}{2} = \frac{0 + 5}{2} = 2,5 \\\\y_M = \frac{y_E + y_F}{2} = \frac{5\sqrt{3} + 0 }{2} = 2,5\sqrt{3}$

Logo, temos os seguintes pontos:

• O(0,0);
• M(2,5 , 2,5√3);
• E(0, 5√3);
• F(5,0);
• G(-5,0).

Agora sim podemos encontrar todas as retas pedidas.

Reta EF:

Tomando os pontos E e F e colocando-os na equação geral da reta:

$x*(y_e - y_f) + y*(x_f - x_e) + x_e*y_f - x_fy_e = 0\\\\x*(5\sqrt{3} - 0) + y*(5 - 0) + 0*0 - 5*5\sqrt{3} = 0\\\\5x\sqrt{3} + 5y - 25\sqrt{3} = 0\\\\x\sqrt{3} + y - 5\sqrt{3} = 0\\\\x\sqrt{3} + y = 5\sqrt{3}$

Reta FG:

Substituindo os pontos F e G na equação geral da reta:

$x*(y_f - y_g) + y*(x_g - x_f) + x_f*y_g - x_gy_f = 0\\\\x*(0 - 0) + y*(-5 - 5) + 5*0 - (-5)*0 = 0\\\\-10y = 0\\\\y = 0$

Reta GE:

Agora vamos substituir os pontos G e E na equação geral da reta:

$x*(y_g - y_e) + y*(x_e - x_g) + x_g*y_e - x_ey_g = 0\\\\x*(0 - 5\sqrt{3} ) + y*(0 + 5) + (-5)*5\sqrt{3} - 0*0 = 0\\\\5x\sqrt{3} + 5y - 25\sqrt{3} = 0\\\\x\sqrt{3} + y - 5\sqrt{3} = 0\\\\x\sqrt{3} + y = 5\sqrt{3}$

Reta OM:

Por fim, vamos substituir os pontos médios O e M na mesma equação geral da reta:

$x*(y_o - y_m) + y*(x_m - x_o) + x_o*y_m - x_my_o = 0\\\\x*(0 - 2,5\sqrt{3} ) + y*(2,5 - 0) + 0*2,5\sqrt{3} - 2,5*0 = 0\\\\-2,5x\sqrt{3} + 2,5y = 0\\\\-x\sqrt{3} + y = 0$

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