Question

resolva as seguintes sequencias apresente a resolução do exercício
1. Determine os cinco primeiros termos das sequencias num´ericas definidas pelas leis, considerando
n ∈ N∗:
(a) an = 4n − 8
(b) bn = 5n − 3
(c) cn =$\frac{1}{2}$ · n2
(d) dn =$\frac{n.(n+5)}{2}$
2. Considere a sequencia definida por an = 3n − 4, n ∈ N∗. Determine:
(a) a2
(b) a5
(c) a11
3. Uma sequencia ´e definida por an = −37 + 6n em que n ∈ N∗. Verifique se os seguintes números pertencem `a sequencia, destacando, em caso afirmativo, sua posiçâo:
(a) −7
(b) 46
(c) 123
(d) 251
4. Determine os cinco primeiros termos das sequˆencias num´ericas a seguir, definidas por recorrencia, com n ∈ N∗:
(a) a1 = 1; an = an−1 − 4, n ∈ N e n > 1
(b) b1 = 1; bn+1 = 2 · bn, n ∈ N, n ≥ 1
(c) c1 = 4; cn = cn−1 · 5n, com n > 1

Answer 1

$\textsf{1.}$

$\textsf{Para isso basta usar as leis de forma\c c\~ ao dadas no enunciado:}$

$\textsf{(a)}$

$\mathsf{ a_1 = 4 \cdot 1 - 8 = -4} \\\mathsf{ a_2 = 4 \cdot 2 - 8 = 0} \\\mathsf{ a_3 = 4 \cdot 3 - 8 = 4} \\\mathsf{ a_4 = 4 \cdot 4 - 8 = 8}\\\mathsf{ a_5 = 4 \cdot 5 - 8 = 12}$

$\textsf{(b)}$

$\mathsf{ b_1 = 5 \cdot 1 - 3 = 2} \\\mathsf{ b_2 = 5 \cdot 2 - 3 = 7} \\\mathsf{ b_3 = 5 \cdot 3 - 3 = 12} \\\mathsf{ b_4 = 5 \cdot 4 - 3 = 17}\\\mathsf{ b_5 = 5 \cdot 5 - 3 = 22}$

$\textsf{(c)}$

$\mathsf{ c_1 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}} \\\\\mathsf{ c_2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2} \\\\\mathsf{ c_3 = \frac{1}{2} \cdot 3^2 =\frac{9}{2} } \\\\\mathsf{ c_4 = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = 8}\\\\\mathsf{ c_5 = \frac{1}{2} \cdot 5^2 = \frac{25}{2}}$

$\textsf{(d)}$

$\mathsf{ d_1 = \frac{1(1 + 5)}{2} = 3} \\\\\mathsf{ d_2 = \frac{2(2 + 5)}{2} = 7} \\\\\mathsf{ d_3 = \frac{3(3 + 5)}{2}=12 } \\\\\mathsf{ d_4 = \frac{4(4 +5)}{2}=18}\\\\\mathsf{ d_5 = \frac{5(5 +5)}{2} = 25}$

$\textsf{2.}$

$\textsf{Vamos usar a formula do termo geral dada no enunciado:}$

$\textsf{(a)}$

$\mathsf{a_2 = 3 \cdot 2 -4 = 2}$

$\textsf{(b)}$

$\mathsf{a_5 = 3 \cdot 5 -4 = 11}$

$\textsf{(c)}$

$\mathsf{a_{11} = 3 \cdot 11 -4 = 29}$

$\textsf{3.}$

$\textsf{Basta resolver as equac\~oes geradas pela formula do termo geral dada. Para }\\\textsf{isso vamos supor que eles na sequ\^encia e vamos achar a sua posi\c c\~ ao na }\\\textsf{sequ\^encia. Se a posi\c c\~ ao achada for um n\'umero natural diferente de 0, ent\~ ao}\\\textsf{o n\'umero es\'ta na sequ\^encia. Sen\~ao ele n\~ao est\'a.}$

$\textsf{(a)}$

$\mathsf{-7 = -37 + 6n \Rightarrow 30 = 6n \Rightarrow n = 5 \in \mathbb{N}^{*}}}\\ \textsf{Portanto -7 est\'a na sequ\^encia est\'a na }} \mathsf{5^{\circ}}} \textsf{posi\c c\~ ao.}$

$\textsf{(b)}$

$\mathsf{46 = -37 + 6n \Rightarrow 83 = 6n \Rightarrow n = \frac{83}{6} \notin \mathbb{N}^{*}}\\ \textsf{Portanto 46 n\~ao est\'a sequ\^encia.}}$

$\textsf{(c)}$

$\mathsf{123 = -37 + 6n \Rightarrow 160 = 6n \Rightarrow n = \frac{80}{3} \notin \mathbb{N}^{*}}\\ \textsf{Portanto 123 n\~ao est\'a sequ\^encia.}}$

$\textsf{(d)}$

$\mathsf{251 = -37 + 6n \Rightarrow 288 = 6n \Rightarrow n = 48 \in \mathbb{N}^{*}}}\\ \textsf{Portanto 251 est\'a na sequ\^encia est\'a na }} \mathsf{48^{\circ}}} \textsf{posi\c c\~ ao.}$

$\textsf{4.}$

$\textsf{Vamos usar as recorr\^encias dadas no enunciado para determinar os 5 primeiros}\\ \textsf{termos de cadasequ\^encia.}$

$\textsf{(a)}$

$\mathsf{ a_1 = 1} \\\mathsf{ a_2 = a_1 - 4 = 1 -4 = -3} \\\mathsf{ a_3 = a_2 - 4 = -3 - 4 = -7} \\\mathsf{ a_4 = a_3 - 4 = -7 - 4 = -11}\\\mathsf{ a_5 = a_4 - 4 = -11 - 4 = -15}$

$\textsf{(b)}$

$\mathsf{ b_1 = 1} \\\mathsf{ b_2 = 2\cdot b_1 = 2\cdot 1 = 2} \\\mathsf{ b_3 = 2\cdot b_2 = 2 \cdot 2 = 4} \\\mathsf{ b_4 = 2\cdot b_3 = 2 \cdot 4 = 8}\\\mathsf{ b_5 = 2 \cdot b_4 = 2\cdot 8 = 16}$

$\textsf{(c)}$

$\mathsf{ c_1 = 4} \\\mathsf{ c_2 = c_1 \cdot 5\cdot 2 = 4 \cdot 10 = 40} \\\mathsf{ c_3 = c_2 \cdot 5 \cdot 3 =40 \cdot 15 = 600} \\\mathsf{ c_4 = c_3\cdot5\cdot4= 600 \cdot 20 = 12000}\\\mathsf{ c_5 = c_4\cdot5\cdot5 =12000 \cdot 25 = 300000}$