Question

(UFPB) Considere a função invertível f : IR -> IR definida por f(x) = 2x + b, onde b é uma constante. Sendo $f^{-1}$ a sua inversa, qual o valor de b, sabendo-se que o gráfico de $f^{-1}$ passa pelo ponto A (1, -2) ?

Answer 1

Olá Daniel!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{5}}$

Explicação passo-a-passo:

Comumente, uma função polinomial do 1º grau é representada por:

$\displaystyle \mathtt{f(x) = ax + b; \, \forall \, a, b \in \mathbb{R}, \ com \, a \neq 0}$

Ademais, um ponto pertencente ao gráfico da função $\displaystyle \mathtt{f}$ é da forma $\displaystyle \mathtt{(x, y)}$, onde $\displaystyle \mathtt{x}$ é a abscissa e $\displaystyle \mathtt{y}$ a ordenada.

A função inversa da função $\displaystyle \mathtt{f}$ é representada por:

$\displaystyle \mathtt{f^{- 1}(x) = cx + d; \, \forall \, c, d \in \mathbb{R}, \ com \, c \neq 0}$

Em contrapartida, quanto à coordenada, tem a abscissa e a ordenada invertidas. Assim, um ponto qualquer, que passa pelo seu gráfico é da forma $\displaystyle \mathtt{(y, x)}$.

Dito isto, e, de acordo com o enunciado, temos que: $\displaystyle \boxed{\mathtt{(y, x) = (1, - 2) \in f^{- 1}(x)}}$. Ou seja, $\displaystyle \mathtt{y = 1}$ e $\displaystyle \mathtt{x = - 2}$!!

Daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) = 2x + b} \\\\ \mathsf{1 = 2 \cdot (- 2) + b} \\\\ \mathsf{1 = - 4 + b} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{b = 5}}}$