Question

UNIFEI-MG COMO FAÇO?
Dados os pontos M (m, n + p), N (n, m + p) e P (p, m + n) no plano cartesiano, com m, n, p ∈ R*, pode-se afirmar que eles são:
a) vértices de um triângulo.
b) vértices de um quadrado.
c) pontos de uma circunferência centrada na origem.
d) colineares.
LETRA D A CORRETA

Answer 1

Resposta:

Olá, a correta é a letra D

Explicação passo-a-passo:

Para saber se os pontos são colineares ou não, é necessário aplicar a condição de alinhamento de três pontos utilizando determinantes

$\left[\begin{array}{ccc}xA&yA&1\\xB&yB&1\\xC&yC&1\end{array}\right] = 0$

Substituindo os pontos fornecidos na questão na equação e calculando o determinante de uma matriz 3x3 temos:

$\left[\begin{array}{ccc}m&n+p&1\\n&m+p&1\\p&m+n&1\end{array}\right] \left\begin{array}{ccc}m&n+p\\n&m+p\\p&m+n\end{array}\right$

$det = p(m+p) + m(m+n) + n(n+p) - m(m+p) - p(n+p) - n(m+n)$

Reorganizando a equação de acordo com os fatores comuns obtemos:

$det = p(m+p) - m(m + p) + m(m + n) - n(m+n) + n(n+p) - p(n+p)$

Deixando os fatores comuns em evidência:

$det = (p-m)(m+p) + (m-n)(m+n) + (n-p)(n+p)$

Aqui podemos aplicar o produto da soma pela diferença:

$(a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}$

Então temos:

$det = p^{2} - m^{2} +m^{2} - n^{2} +n^{2} - p^{2}$

Cortando os termos opostos

$det = 0$

Como o determinante dá 0, atende a condição de alinhamento, ou seja, os pontos M, N e P são colineares por pertencerem à mesma linha