Question

04
(Mpaiva-333). São dados os pontos os pontos
A(3;-1), B(1;1)eC(5;5).
a) Calcule o perímetro do triângulo ABC
b) Mostre que o triângulo ABC é um triângulo
retângulo.​

Answer 1

a) Vamos calcular o perímetro de cada lado utilizando a fórmula da distância entre dois pontos:

$d_{AB} = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Então, como A(3, -1), B(1, 1) e C(5, 5), temos:

$AB= \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} = \sqrt{(3-1)^2+((-1)-1)^2} \rightarrow AB = 2\sqrt2$

$BC= \sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2} = \sqrt{(1-5)^2+(1-5)^2} \rightarrow BC = 4\sqrt2$

$AC= \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2} = \sqrt{(3-5)^2+((-1)-5)^2} \rightarrow AB = 2\sqrt{10}$

Portanto o perímetro do triângulo ABC é AB + BC + AC = $6\sqrt2 + 2\sqrt{10}$

b) Se ABC for um triângulo retângulo ele deve obedecer ao Teorema de Pitágoras. Vamos ver se isto ocorre:

$a^2=b^2+c^2 \rightarrow (2\sqrt{10})^2=(2\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2 \rightarrow (\sqrt{40})^2=(\sqrt{8})^2+(\sqrt{32})^2 \rightarrow 40 = 40$

Portanto, o triângulo ABC obedece ao Teorema de Pitágoras. Logo podemos concluir que ele é um triângulo retângulo.