Question

VETOREEES Sejam ax + by + c= 0 a equação de uma reta r no plano e o ponto P (x0, y0), P não pertencente a r:
a) De Quiser (X1, y1) é um ponto qualquer da reta, determine a equação de reta que passa por Q e é perpendicular a r.
b) Encontre um valor diretor V para reta do item a e calcule a projeção de PQ sobre V.
c) Mostre que a distância de P até a reta r é
|ax0 + by0 + c|/√a² - b²

Answer 1

a)

Primeiro lembre que se uma reta em R² tem equação

ax+by+c = 0

Então o vetor (a,b) é perpendicular a essa reta (veja observação no fim)

Aí fica facil achar a reta perpendicular, ela terá a direção de (a,b). Como passa pelo ponto Q a equação (vetorial) é

(x,y) = Q + t(a,b)

Ou seja

x = x₁  + ta

y = y₁ + tb

Isolando t e igualando obtemos

(x-x₁) / a = (y - y₁) / b

b(x-x₁) = a(y-y₁)

bx - ay + ay₁ - bx₁ = 0

Outra maneira: Usando inclinação/declive

Primeiro vamos supor que b = 0

Nesse caso a reta é ax + c = 0, que é uma reta vertical. Portanto a reta perpendicular é horizontal, ou seja, da forma y = d. Como ela passa no ponto Q = (x₁, y₁) temos d = y₁. Ou seja, a reta nesse caso tem equação

y = y₁

Da mesma forma podemos resolver o caso a = 0 e achar a reta

x = x₁

Agora vamos resolver o caso a ≠ 0 e b ≠ 0.

ax + by + c = 0

by = -ax + c      (agora dividimos por b, podemos já que b não é zero)

y =-ax/b  + c/b  

Assim, o declive da reta é -a/b

Sabemos que se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus declives é -1 (desde que não sejam retas horizontais nem verticais). Assim, se a reta y=mx+n é perpendicular, teremos

m(-a/b) = -1

m = b/a

Como y=mx+n passa por Q = (x₁, y₁) temos

y₁ = (b/a)x₁ +n

n = y₁ - (b/a)x₁

Portanto a equação que queremos é

y = (b/a)x + y₁ - (b/a)x₁

Simplificando:

ay = bx + ay₁ - bx₁

bx - ay + ay₁ - bx₁ = 0    ( I )

(Obs.: apesar de supor que a,b são não nulos para obter essa equação, ela funciona também quando a ou b são zero. Quer dizer, substituindo a, ou b como zero nessa equação encontraremos as equações obtidas antes para esses casos)

b) Seria vetor diretor? Nesse caso usamos no item a) o vetor v = (a,b) como vetor diretor.

Se você resolver pelo segundo método, para achar um vetor diretor basta fazer a diferença entre dois pontos da reta. Por exemplo, já sabemos que Q está na reta. Olhando a equação ( I ) podemos achar outros pontos:

Se x = 0 temos y =  y₁ - (b/a)x₁

Se y = 0 temos x =  x₁ - (a/b)y₁

Ou seja, já temos 3 pontos da reta:

(x₁, y₁ ), ( 0, y₁ - (b/a)x₁ ) e ( x₁ - (a/b)y₁, 0)

Fazendo a diferença entre dois deles (por exemplo o segundo e o primeiro) obtemos um vetor diretor:

(x₁, y₁ ) - ( 0, y₁ - (b/a)x₁ )  = (x₁,   (b/a)x₁ )

Observe que (x₁, (b/a)x₁) = (x₁/a) (a,b)

Assim vamos usar v =(a,b) que é mais facil de fazer as contas para calcular a projeção

PQ = Q - P = (x₁ - x₀, y₁ - y₀)

Lembrando que a projeção do vetor w sobre o vetor v pode ser calculada por

$\textrm{Proj}_v w = \left(\dfrac{v \cdot w}{v \cdot v }\right)v$

Temos:

$\textrm{Proj}_v PQ = \left(\dfrac{a(x_1 - x_0) + b(y_1-y_0)}{a^2 + b^2 }\right) (a,b)$

$\textrm{Proj}_v PQ = \left(\dfrac{a(x_1 - x_0) + b(y_1-y_0)}{a^2 + b^2 }\right) (a,b) = \left(\dfrac{-ax_0 - by_0 - c}{a^2+b^2} \right)(a,b)$

Acima usamos que o ponto Q está na reta r. Ou seja, ax₁ + by₁ + c = 0.

Obs.: Embora existam infinitas possibilidades pro vetor diretor v, a projeção sempre da a mesma resposta, porque ela não depende do tamanho do vetor v, apenas da sua direção.

c)

Note que a projeção de PQ na direção de v tem como tamanho exatamente a distância entre P e a reta r (recomendo desenhar para 'ver'). Assim a respsta é o módulo da projeção calculada no item b):

$\left\| \textrm{Proj}_v PQ \right\| = \left|\dfrac{-ax_0 - by_0 - c}{a^2+b^2} \right| \sqrt{ a^2 + b^2} = \dfrac{|ax_ 0 + by_ 0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Obs.: Para um plano em R³ com equação ax+by+cz +d = 0 o vetor (a,b,c) é perpendicular  a esse plano. Da mesma forma, para a reta ax+by+c = 0 em R², o vetor (a,b) é perpendicular a reta. Isso acontece pelo seguinte (vou explicar para retas, mas para planos é a mesma coisa com uma letra a mais)

Se (x₁, y₁) e (x₂,y₂) são pontos dessa reta, então

ax₁ + by₁ + c = 0 ⇒ -c = ax₁ + by₁

ax₂ + by₂+ c = 0 ⇒ -c = ax₂ + by₂

Além disso o vetor (x₁ - x₂, y₁ - y₂) é paralelo a reta. Agora observe oque acontece com o produto escalar de (a,b) com esse vetor:

(x₁ - x₂, y₁ - y₂)(a,b) =

ax₁ - ax₂ +  by₁ - by₂ =

(ax₁ + by₁) - (ax₂ + by₂) =  -c + c = 0

Ou seja, o vetor (a,b) é perpendicular. Assim ele é perpendicular a reta.