Question

Determine o valor de K para que cada equação represente uma circunferência .

a) x² + y² - 8x + 6y + K = 0
b) x² + y² + 10x - 2y + K = 0
c) 2x² + 2y² - 4x - 8y - K = 0
d) -x² - y² + 6x - 16y + K = 0

Answer 1

(x-a)² + (y-b)² = r²
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0
a) -2ax = -8x --> -2a = -8 --> a = 4
-2by = 6y --> -2b = 6 --> 2b = -6 --> b = -3
a² + b² = r²
4² + (-3)² = r²
16 + 9 = r²
r² = 25
r = 5 --> K = 5

Answer 2

Com o estudo sobre equação da circunferência, temos como resposta:

• a)k < 25;
• b)K < 26;
• c)K > -10;
• d)K > -73

Equação do Círculo

A equação do círculo fornece uma maneira algébrica de descrever um círculo, dado o centro e o comprimento do raio de um círculo. A equação de um círculo é diferente das fórmulas usadas para calcular a área ou a circunferência de um círculo. Esta equação é usada em muitos problemas de círculos em geometria de coordenadas.

Para representar um círculo no plano cartesiano, precisamos da equação do círculo. Um círculo pode ser desenhado em um pedaço de papel se conhecermos seu centro e o comprimento de seu raio. Da mesma forma, em um plano cartesiano, podemos desenhar um círculo se conhecermos as coordenadas do centro e seu raio

Observação: A equação geral da circunferência é dada por x² + y² -2ax -2by + a² + b² + R² = 0

a)Vamos agrupar os termos em x e os termos em y, isolando em um dos membros da igualdade o k.

$x^2\:+\:y^2\:-\:8x\:+\:6y\:+\:K\:=\:0\Leftrightarrow \left(x^2-8x\right)+\left(y^2+6y\right)=-k$

Completando quadrados, teremos:

$\left(x^2-8x+16\right)+\left(y^2+6y+9\right)=-k+16+9\Leftrightarrow \left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2=-k+16+9 \\\\\left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2=-k+25$

Para que a equação seja de uma circunferência o valor do raio deve ser positivo, ou seja

-k + 25 > 0 ⇒ -k > -25 ⇒ k < 25.

b)Como a letra anterior foi bem desenvolvida podemos ser um pouco mais rápido nas demais.

$x^2\:+\:y^2\:+\:10x\:-\:2y\:+\:K\:=\:0\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow \left(x^2+10x+25\right)+\left(y^2-2y+1\right)=-K+25+1\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow \left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2=-K+26$

Para que a equação seja de uma circunferência o valor do raio deve ser positivo, ou seja

-K + 26 > 0 ⇒ -K > -26 ⇒ K < 26

c)Dividindo tudo por 2, teremos:

$2x^2\:+\:2y^2\:-\:4x\:-\:8y\:-\:K\:=\:0\Leftrightarrow x^2+y^2-2x-4y-\dfrac{K}{2}=0\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=\dfrac{K}{2}+1+4\Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=\dfrac{K}{2}+5$

Para que a equação seja de uma circunferência o valor do raio deve ser positivo, ou seja:

$\dfrac{K}{2}+5 > 0\\\\K > -10$

d)

$-x^2\:-\:y^2\:+\:6x\:-\:16y\:+\:K\:=\:0\Leftrightarrow x^2+y^2-6x+16y-K=0$

$\Leftrightarrow \left(x-3\right)^2+\left(y+8\right)^2=K+73$

Para que a equação seja de uma circunferência o valor do raio deve ser positivo, ou seja

K + 73 > 0 ⇒ K > -73

Saiba mais sobre equação da circunferência: https://brainly.com.br/tarefa/49695561

#SPJ2