Question

RECOMPENSA: 50 pontos.

Gincana da tarde

I) A soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?

(Obs: explicação)

Boa sorte ksks.
​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

I) 

PA={ x -r , x , x+r }

a1=(x-r)

a2=(x)

a3=(x+r)

x-r+x+x+r=72

x+x+x-r+r=72

3x+0=72

x=72/3

x=24

Vamos encontrar o valor de "r" agora :

(x-r).(x+r)=560

x²-r²=560

24²-r²=560

576-r²=560

-r²=560-476

-r²=-16

Multiplicando tudo por (-1):

r²=16

r=√16

r=±4

_____

Podemos ter duas PA's

PA={ 20 , 24, 28 } => Primeira PA

x+r=24-4=20

x=24

x-r=24+4=28

PA={28 , 24 , 20} => segunda pA

x+r=24+4=28

x=24

x-r=20

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Progressão Aritmétrica :

Dada a p.a(a1 , a2 , a3)

A soma dos três termos é 72 :

a1 + a2 + a3 = 72 ✅✅

O produto dos termos extremos é 560 :

a1 • a3 = 560 ✅✅

____________________________________________

Note :

Nos dados acima , temos na verdade três incógnitas , mas podemos tranquilamente escrever as mesmas em função de duas incógnitas.

Fórmula do termo Geral :

an = a1 + ( n - 1 ) • r

, logo podemos concluir que :

a2 = a1 + (2 - 1) • r

a2 = a1 + r

a3 = a1 + (3 - 1 ) • r

a3 = a1 + 2 • r

a3 = a1 + 2r

____________________________________________

Sendo assim podemos formar um sistema de equações a duas incógnitas :

{ a1 + a1 + r + a1 + 2r = 72

{ a1 • (a1 + 2r) = 560

{ 3a1 + 3r = 72

{ a1 • (a1 + 2r) = 560

{3(a1 + r) = 72 (I)

{ a1 • (a1 + 2r) = 560 (II)

Vamos dividir a equação (I) por 3 :

{ a1 + r = 24 (I)

{ a1 • (a1 + 2r) = 560 (II)

Máxima atênção na Equação (I) , lembra que : a2 = a1 + r ??

agora veja na Equação (I) que a2 = 24

____________________________________________

{ r = 24 - a1

{ a1 • (a1 + 2•(24 - a1)) = 560

{ --------------------

{ a1 • ( 48 - a1) = 560

{ ---------------

{ 48a1 - a1² = 560

-a1² + 48a1 - 560 = 0

a1² - 48a1 + 560 = 0 ✅✅

∆ = (-48)² - 4 • 1 • 560

∆ = 2304 - 2240

∆ = 64

a1 = (-b±√∆)/2a

a1 = (48±√64)/2•1

a1 = (48±8)/2

a1' = (48+8)/2 = 56/2 = 28

a1'' = (48-8)/2 = 40/2 = 20

Então tendo achado o segundo e o primeiro termo vamos achar a razão da p.a :

a1 + r = 24

a1' + r = 24

r = 24 - a1'

r = 24 - 28

r' = -4

a1 + r = 24

a1'' + r = 24

r = 24 - a1''

r = 24 - 20

r'' = 4

Vamos achar o terceiro termo :

a3 = a1 + 2r

a3 = 20 + 2 • 4

a3 = 20 + 8

a3 = 28

Vamos avaliar a sequência para notar hipótese podemos descartar nos valores achado do primeiro termo :

a1 + a2 + a3 = 72

20 + 24 + 28 = 72

20 + 52 = 72

72 = 72 Verdade ✅✅

Então podemos dizer que : a1 ≠ 28 .

p.a( 20 , 24 , 28)

Espero ter ajudado bastante!)

Dúvidas?? Comente por favor!!